Вопрос о причине появления посторонних корней в уравнениях

[Cobb-Douglas]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Возник следующий вопрос: причиной появления посторонних коней при решении уравнений является расширение ОДЗ исходного уравнения. В интернете есть множество примеров на эту тему. Но как быть с уравнением "икс" равен 2 и его следствием "икс в квадрате" равен 4. Вроде бы, область определения не изменилась. И в первом и во втором уравнении "икс" может принимать все действительные числа... Откуда появляется посторонний корень "икс" равен -2.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[TOTAL]

Cobb-Douglas в сообщении #1625438 писал(а):

Откуда появляется посторонний корень "икс" равен -2.

На столе две клетки. В первой клетке сидит птичка. Поэтому в какой-то из двух клеток сидит птичка.

В какой-то из двух клеток сидит птичка. Поэтому в первой клетке сидит птичка и во второй клетке сидит птичка. Откуда взялась вторая птичка?

[warlock66613]

Просто это неверное утверждение про ОДЗ. Посторонние корни появляются при неэквивалентных преобразованиях уравнения. Неэквивалентные преобразования могут терять корни, могут добавлять корни, поэтому к ним нужен индивидуальный подход. Часто преобразование, являющееся неэквивалентным без учёта ОДЗ, становится эквивалентным при учёте ОДЗ, но это не обязательно так для любого преобразования.

Например, ваш случай: уравнение $x=a$, $a>0$ и уравнение, получающееся возведением в квадрат: $x^2 = a^2$. Они неэквивалентны, так как последнее эквивалентно следующему:

$$x^2=a^2 \Leftrightarrow x^2 -a^2 =0 \Leftrightarrow (x -a)(x+a) =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x-a = 0 \\ x+a = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = a \\ x = -a \end{array} \right.$$

Видно что по сути при возведении мы заменили исходное уравнение объединением двух уравнений, одно из которых — наше, а другое — постороннее, которое и даёт посторонний корень.

Как с этим бороться? Один из вариантов — отсев корней (работает, потому что возведение в квадрат только добавляет посторонние корни). Другой следующий.

Заметим, что $x = a \Rightarrow x > 0$. Значит если мы добавим к нашему уравнению в систему неравенство $x > 0$, мы не потеряем и не приобретём корней:

$$x =a \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x = a \\ x > 0 \end{array} \right.$$

Система

$$\left\{\begin{array}{l} x = -a \\ x > 0 \end{array} \right.$$

несовместна, поэтому можно объединить её с нашей. Получим

$$ \left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} x = a \\ x > 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{\begin{array}{l} x = -a \\ x > 0 \end{array} \right.} \end{array} \right.$$

Общую часть $x>0$ двух объединённых систем можно вынести, получится:

$$ \left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{l} x = a \\ x = -a \end{array} \right.} \\ x > 0 \end{array} \right.$$

Вот мы и получили объединение двух уравнений, эквивалентное исходному уравнению, возведённому в квадрат. Поэтому это эквивалентно

$$ \left\{\begin{array}{l} x^2 = a^2 \\ x > 0 \end{array} \right.$$

Вот только такая система с дополнительным неравенством получается эквивалентна исходному уравнению $x=a$.

В более общем случае можно доказать, что переход от уравнения $u = v$ к $f(u) = f(v)$ является эквивалентным преобразованием только если $f$ — монотонная функция. Функция $f(t) = t^2$ немонотонна на $\mathbb R$ — сначала убывает, потом возрастает. Если повезло и ОДЗ такой, что $u \geqslant 0$ или $v \geqslant 0$, то на таком ОДЗ функция возведения в квадрат монотонна, поэтому возведение в квадрат можно делать. Если с ОДЗ не повезло (как в случае выше), то придётся выкручиваться — пример показан выше.

[ShMaxG]

Мы сами добавляем новые корни в результате неравносильных преобразований. Зачем? Затем что такие преобразования зачастую упрощают решение задачи. Можно сказать, в таких случаях искусственное добавление решений и их последующий отсев — цена за упрощение решения на определенном этапе.