Наивные вопросы о симметрии

[Anton_Peplov]

Читаю книгу А. В. Шубников, В. А. Копцик. Симметрия в науке и искусстве.
Авторы сознательно пытаются сначала донести материал "на пальцах", а уж потом ввести строгие определения. В результате я иногда не понимаю, что они хотят сказать.

Поэтому, во-первых, прошу порекомендовать мне более математизированные книги о симметрии, где тоже будут примеры из элементарной геометрии, но авторы будут выражаться нормальным математическим языком. (И, желательно, не отложат определение группы до десятой главы, но это уже опциально).

А во-вторых, прошу помочь мне разобраться с некоторыми фрагментами из Шубникова и Копцика.

Вопрос № 1. Плоскость чертежа как полярная плоскость

Нам понадобится понятие особенных точек и плоскостей.

Точка фигуры $F$ называется особенной, если всякое симметричное преобразование оставляет ее на месте (т.е. отображает в саму себя). Аналогично, плоскость называется особенной для фигуры $F$, если всякое симметричное преобразование оставляет ее на месте. (Это я перевел с авторского на математический).

Далее авторы пытаются познакомить читателя с понятием полярной плоскости. Они дают следующее описание: "Полярной мы называем такую плоскость, в которой обе ее поверхности физически не равны друг другу; употребляя житейские термины, мы могли бы сказать, что полярная плоскость имеет "лицо" и "изнанку"".

Попытавшись перевести этот пассаж на математический язык, я получил следующее:

Плоскость называется полярной для фигуры $F$, если никакое симметричное преобразование фигуры $F$ не отображает одну сторону плоскости в другую.

Вопрос 1.1. Совпадает ли это со стандартным определением полярной плоскости?

Ниже авторы приводят строгое (Г-ди, наконец-то) определение односторонней розетки.

"Односторонней розеткой называется фигура, имеющая хотя бы одну особенную полярную плоскость и хотя бы одну особенную плоскость."

Ок. Но дальше новое затруднение:
"Этому определению отвечают все приводившиеся выше примеры фигур, если их рассматривать как плоские рисунки, выполненные на одной стороне бумаги, которая играет роль полярной плоскости".

Вопрос 1.2. Для каких плоских фигур плоскость чертежа - полярная? Вопрос, разумеется, осмыслен только для плоских фигур в трехмерном пространстве (в планиметрии у плоскости чертежа нет сторон).

Попытаюсь следовать своему пониманию полярной плоскости. В трехмерном пространстве среди возможных преобразований плоской фигуры нужно рассматривать и поворот вокруг оси, лежащей в плоскости чертежа. Для квадрата среди таких поворотов есть симметричные преобразования. Для фигуры с исключительно осевой симметрией, например, свастики (извините за такой пример) - нет. Следовательно, для квадрата плоскость чертежа - не полярная, а для свастики - полярная. Т.е. квадрат не является односторонней розеткой (хотя он изображен на рис. 45, но авторы, возможно, не считают этот рисунок "примером фигуры"), а свастика - является. Правильно я понял, что до меня пытались донести Шубников и Копцик?

[gris]

Я помню школьную книгу : Германа Вейля "Симметрия". Тогда многое для меня было трудновато, но многое завораживало. Искусство и группы наличествуют

[dgwuqtj]

Anton_Peplov в сообщении #1625239 писал(а):

Поэтому, во-первых, прошу порекомендовать мне более математизированные книги о симметрии, где тоже будут примеры из элементарной геометрии, но авторы будут выражаться нормальным математическим языком. (И, желательно, не отложат определение группы до десятой главы, но это уже опциально).

Есть брошюры Симметрия в математика и чуть более алгебраическая Симметрия многочленов.

Anton_Peplov в сообщении #1625239 писал(а):

Вопрос 1.1. Совпадает ли это со стандартным определением полярной плоскости?

То, что вы написали, скорее называется ориентированной плоскостью.

[Anton_Peplov]

dgwuqtj в сообщении #1625255 писал(а):

То, что вы написали, скорее называется ориентированной плоскостью.

А термин "полярная плоскость" вообще существует или это изобретение авторов?

[dgwuqtj]

Anton_Peplov в сообщении #1625258 писал(а):

А термин "полярная плоскость" вообще существует или это изобретение авторов?

Я его встречал только в контексте двойственности относительно поверхности второго порядка. Но там полярная плоскость (поляра) берётся у точки относительно поверхности.

[Anton_Peplov]

dgwuqtj в сообщении #1625255 писал(а):

Есть брошюры Симметрия в математика
и чуть более алгебраическая Симметрия многочленов.

Спасибо, просмотрел. Хорошие брошюры, но эти азы я и так знаю. Мне бы подробностей: односторонние и двухсторонние розетки, бордюры, ленты, стержни. В общем, те же темы, что у Шубникова и Копцика, но изложенные по-человечески, а не "на пальцах". Чтобы автор не стеснялся назвать функцию функцией, а группу группой.

gris в сообщении #1625253 писал(а):

Я помню школьную книгу : Германа Вейля "Симметрия"

Вейль, конечно, классик, но очень уж давно он жил. Боюсь нахвататься от него устаревшей терминологии.

[Booker48]

А Вы видели монографию югославского математика Славика Владо Яблана "Симметрия, орнаменты и модулярность", М. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006, которую он сам перевёл на русский с английского? )))

[vpb]

Не про симметрии вообще, а про кристаллографию. Есть такая старенькая книга Делоне, Падуров, Александров, Математические основы структурного анализа кристаллов. Можете рискнуть здоровьем, вдруг подойдет.