Другое определение производной

[Dedekind]

Наткнулся на такое видео https://www.youtube.com/watch?v=XfWgfZ5V2qI
Автор предлагает вместо стандартного определения производной:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

альтернативное:

$$f'(x) = \lim_{t\to 1}{\dfrac{f(tx)-f(x)}{tx-x}}$$

Далее демонстрируются преимущества такого определения: более легкое вычисление некоторых стандартных производных. Например, производная от $f(x)=x^n$ вычисляется по новому определению так:

$$f'(x) = \lim_{t\to 1}{\dfrac{f(tx)-f(x)}{tx-x}}=\lim_{t\to 1}{\dfrac{t^nx^n-x^n}{tx-x}} =\lim_{t\to 1}{\dfrac{x^n(t^n-1)}{x(t-1)}}=x^{n-1}}\lim_{t\to 1}{\dfrac{t^n-1}{t-1}}$$

Тут отмечается, что уже на этом этапе, в отличие от стандартного определения, без вычисления предела становится понятен характер производной - пропорциональность ее $x^{n-1}$. Далее:

$$x^{n-1}}\lim_{t\to 1}{\dfrac{t^n-1}{t-1}} = x^{n-1}}\lim_{t\to 1}{\dfrac{(t-1)(1 + t + t^2 + ... + t^{n-1})}{t-1}} =x^{n-1}}\lim_{t\to 1}{(1 + t + t^2 + ... + t^{n-1})}=nx^{n-1} $$

Упрощением, которое тут видится автору является отсутствие биномиального разложения, которое необходимо при стандартном определении (хотя мне кажется, что помнить формулу $t^n-1 = (t-1)(1 + t + t^2 + ... + t^{n-1})$ - не особо легче). И так далее, в видео рассматриваются и другие примеры нахождения производных от элементарных функций по новому определению.

Мой вопрос, собственно, преподавателям матанализа. Считаете ли вы, что такое определение может иметь место (вместо, или вместе со стандартным) в учебных курсах? Будет ли оно более понятным для студентов?

[venco]

Это определение не работает в нуле.

[Dedekind]

venco в сообщении #1624971 писал(а):

Это определение не работает в нуле.

Верно. В нуле предполагается:

$$f'(0) = \lim_{x\to0}\lim_{t\to 1}{\dfrac{f(tx)-f(x)}{tx-x}}$$

Но суть в том, что почти всегда $x$ сокращается, поэтому такой ситуации не возникает. А не сокращается в тех случаях, когда в нуле и так производной не существует.

[Null]

Dedekind в сообщении #1624972 писал(а):

$$f'(0) = \lim_{x\to0}\lim_{t\to 1}{\dfrac{f(tx)-f(x)}{tx-x}}$$

Так нельзя определять. В 0 у производной может быть разрыв.
А по теме - стандартный способ используется в доказательствах чаще и вам все-равно придется переходить к нему. Делить/умножать радиус окрестности на $x$ - плохая идея.

[Geen]

Dedekind в сообщении #1624970 писал(а):

более легкое вычисление некоторых стандартных производных. Например, производная от $f(x)=x^n$

А какие ещё производные легко вычислять? А то ведь, если в одном месте взяли логарифм, то в других местах его придётся отдавать обратно...
Ну и вопрос с обобщениями всякими... - придётся сильно извращаться (это даже не беря во внимание производную в нуле - уже используется специальное определение вместо общего).

-- 06.01.2024, 00:02 --

Dedekind в сообщении #1624970 писал(а):

Будет ли оно более понятным для студентов?

А в чём понятность? Вместо стремления к нулю, стремление к единице (а почему не к десяти?); с дифференциалами становится совсем сложно (а с ними и так не очень просто); что там с доказательствами свойств производной?...

[Dedekind]

Null в сообщении #1624974 писал(а):

Так нельзя определять. В 0 у производной может быть разрыв.

Тогда это значит, что производная в нуле не существует, и, следовательно, предела также не существует. По-моему, это не проблема. Проблема может быть в другом: когда предела не существует, а производная в нуле все равно есть.

Geen в сообщении #1624976 писал(а):

А какие ещё производные легко вычислять?

Производную от $|x|$, например.

Geen в сообщении #1624976 писал(а):

А в чём понятность? Вместо стремления к нулю, стремление к единице (а почему не к десяти?)

Посмотрите видео, там на графике иллюстрируется. Оттуда же понятно, почему именно к единице.

Geen в сообщении #1624976 писал(а):

с дифференциалами становится совсем сложно (а с ними и так не очень просто)

Тут пока ничего не скажу, нужно пробовать.

Geen в сообщении #1624976 писал(а):

что там с доказательствами свойств производной?

Тут никаких проблем, все аналогично.

В общем, понятно, что заменой стандартному такое определение не может служить. Но, видимо, как вариант для облегчения некоторых вычислений - вполне может иметь место.

-- 06.01.2024, 00:52 --

Вот еще видео на эту тему https://www.youtube.com/watch?v=0jhjUHswphM

[пианист]

Никогда не видел, чтобы у кого-то определение производной вызывало трудности. Если человек хоть какие-то усилия прилагал, никаких проблем не было.
Зачем тут нужны подобные извращения, непонятно.

[Geen]

Dedekind в сообщении #1624982 писал(а):

Посмотрите видео, там на графике иллюстрируется. Оттуда же понятно, почему именно к единице.

Иллюстрируется на графике это не определение
Я знаю почему к 1 - потому что это экспонента нуля... Но это потому, что я знаю нормальное определение.

Dedekind в сообщении #1624982 писал(а):

Тут никаких проблем, все аналогично.

Про тангенс угла наклона касательной тоже? Про сложную функцию прям совсем никаких проблем?

Dedekind в сообщении #1624982 писал(а):

Но, видимо, как вариант для облегчения некоторых вычислений - вполне может иметь место.

Ну да, если вместо аккуратного определения предела пользоваться не пойми чем, то вместо хороших привычек у студентов будет вырабатываться подход "и так сойдёт".
И я так и не увидел, кроме степенной функции (и то, условно), ни одного "облегчения".

-- 06.01.2024, 11:51 --

Ну и вообще, при нормальном определении сразу (интуитивно ) видно, что для определения производной достаточно метрик на соответствующих множествах...

[Dedekind]

Geen в сообщении #1625004 писал(а):

Иллюстрируется на графике это не определение

Про определение по графику речи не шло. Вы спросили про понятность.

Geen в сообщении #1624976 писал(а):

А в чём понятность? Вместо стремления к нулю, стремление к единице (а почему не к десяти?)

Понятность такого определения, а также почему именно к единице, а не к десяти - иллюстрируется на графике.

Geen в сообщении #1625004 писал(а):

Про тангенс угла наклона касательной тоже? Про сложную функцию прям совсем никаких проблем?

Разумеется, все то же самое. Единственная проблема, которую я действительно вижу - это вот это

Dedekind в сообщении #1624982 писал(а):

Проблема может быть в другом: когда предела не существует, а производная в нуле все равно есть.

Geen в сообщении #1625004 писал(а):

И я так и не увидел, кроме степенной функции (и то, условно), ни одного "облегчения".

А производная от корня Вам не показалась более легкой? Или от модуля?

Geen в сообщении #1625004 писал(а):

Ну да, если вместо аккуратного определения предела пользоваться не пойми чем, то вместо хороших привычек у студентов будет вырабатываться подход "и так сойдёт".

Dedekind в сообщении #1624982 писал(а):

В общем, понятно, что заменой стандартному такое определение не может служить.

[Geen]

Dedekind в сообщении #1625012 писал(а):

А производная от корня Вам не показалась более легкой?

Нет. Не говоря уж про то, что "замена переменной в пределе" это не совсем уж начала анализа...

-- 06.01.2024, 13:01 --

Dedekind в сообщении #1625012 писал(а):

заменой стандартному такое определение не может служить.

Если стоит задача только что-нибудь попроще вычислить, то производная сложной функции нам в помощь. И это будет более систематический подход.

[EminentVictorians]

Geen в сообщении #1625004 писал(а):

Ну и вообще, при нормальном определении сразу (интуитивно ) видно, что для определения производной достаточно метрик на соответствующих множествах...

Наверное все же норм, а не метрик. На просто метрических пространствах хорошего анализа вроде бы нету. Нужна как минимум структура аффинного нормированного пространства.

Даже у Флёрихера ("Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы") все равно векторная структура присутствует.

[Null]

Dedekind в сообщении #1624982 писал(а):

Тогда это значит, что производная в нуле не существует, и, следовательно, предела также не существует.

Нет. $f(x)=x^2\sin(\frac{1}{x^3}),f(0)=0$ в 0 дифференцируема, но ваше определение не работает.

[Dedekind]

Null в сообщении #1625019 писал(а):

Нет. $f(x)=x^2\sin(\frac{1}{x^3}),f(0)=0$ в 0 дифференцируема, но ваше определение не работает.

Верно, это один из случаев, который я имел в виду тут.

Dedekind в сообщении #1624982 писал(а):

Проблема может быть в другом: когда предела не существует, а производная в нуле все равно есть.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1625017 писал(а):

На просто метрических пространствах хорошего анализа вроде бы нету.

Действительно нету, и понятно почему.

Oleg Zubelevich в сообщении #1035451 писал(а):

Понятие производной выражает идею "линейности в малом". В произвольном метрическом пространстве линейности нет, поэтому ожидать чего-то хорошего от этих экспериментов не стоит

[Dedekind]

Null в сообщении #1625019 писал(а):

ваше определение не работает

И да, определение не мое, а вполне себе известное уже лет 40 как минимум:) https://ru.wikipedia.org/wiki/Q-%D0%BF% ... 0%B0%D1%8F