Векторы

[Мироника]

Вот такая попалась задачка:
Три вектора ОА, ОВ и ОС удовлетворяют условию ОАхОВ+ОВхОС+ОСхОА=0
а) Доказать, что векторы ОА, ОВ и ОС компланарны
б) Доказать, что точки А,В,С лежат на одной прямой.
Подскажите, пожалуйста с чего начать

[ewert]

С пункта а), т.к. б) из него следует

[вздымщик Цыпа]

Мироника писал(а):

Вот такая попалась задачка:
Три вектора ОА, ОВ и ОС удовлетворяют условию ОАхОВ+ОВхОС+ОСхОА=0

'x' — это у Вас что? Скалярное произведение или векторное?

[Мироника]

вздымщик Цыпа в сообщении #162472 писал(а):

'x' — это у Вас что? Скалярное произведение или векторное?

это векторное произведение

[Brukvalub]

Попробуйте координатный подход. Возьмите ортонормированный репер с началом в О и распишите в координатах исходное равенство. Оно будет равносильно равенству нулю смешанного произведения всех трех векторов , что и означает их компланарность. Для облегчения выкладок можно, вдобавок, считать что один из векторов репера направлен о первому вектору( предполагая, что тот не равен 0 ).
Ну, и, можно также привлечь всякие там БАЦ - ЦАБ.

[GAA]

Для выполнения пункта a) задания, я бы скалярно умножил равенство ОАхОВ+ОВхОС+ОСхОА=0, например, на OC и получил бы OAxOB*OC = 0, а это и есть равенство смешанного произведения нулю — одно из условий компланарности векторов.

Добавлено спустя 2 минуты 46 секунд:

Т.е. к координатному представлению я бы не переходил.

[ewert]

да, для п.а) это оптимально.

Ну а я бы ещё предложил вот что: докажите, что

ОАхОВ + ОВхОС + ОСхОА = - АВхВС

(если я чего напутал и там без минуса, то это не принципиально). Тогда из АВхВС=0 моментально следуют сразу оба пункта, т.к. левая часть -- это площадь (неважно, что векторная) треугольника АВС.

[GAA]

Утв. «A, B, C лежат на прямой» эквивалентно (тут тонкости могут быть в определениях) (OA - OB) x (OA - OC) = 0. Последнее равенство эквивалентно -OAxOC - OBxOA + OBxOC =0, что по свойству «антикоммутативности» равно ОАхОВ+ОВхОС+ОСхОА = 0.

Добавлено спустя 9 минут 21 секунду:

На самом деле вот что любопытно. Рассматриваемое в этой теме упражнение задают в курсе «Аналитическая геометрия» [минимальный уровень сложности!], а в феврале 2007 года в теме Задача о слабой и сильной сходимости Мироника просила помощь по функциональному анализу. Как-то не вяжется у меня в голове, с одной стороны, радость по поводу вычисления простейшего предела, и, с другой стороны, указание какой раздел читать в учебнике по ДУ.

Этот форум предназначен для решения простейших задач двоечникам, лентяям и непонятно кому?

[Мироника]

Спасибо огромное всем за помощь! Всё доказалось

Добавлено спустя 8 минут 46 секунд:

GAA
Что-то я не очень понимаю что Вас собственно смущает.... Ведь учиться и заполнять пробелы в образовании никогда не поздно.... То, что я знаю как решаются ДУ второго порядка не предполагает, что я сталкивалась с логарифмированием в нахождении пределов... вот теперь буду знать и это.... А с векторами я никогда особо не дружила... здесь для меня многое в новинку.... Надеюсь, я развеяла Ваши сомнения

[ewert]

Мироника в сообщении #162983 писал(а):

А с векторами я никогда особо не дружила... здесь для меня многое в новинку...

Извините, что выражусь нецензурно. С векторами -- нельзя не дружить. Если они для Вас загадка, то и многие св-ва дифуравнений так и останутся чем-то таинственным. Причём необоснованно.

[Мироника]

Да я с Вами не спорю. Справляюсь с трудностями по мере их поступления. Просто знать всё и сразу невозможно (по крайней мере маловероятно). Я же не чураюсь знаний. Вот сталкиваюсь с определенной задачей и пытаюсь в ней разобраться. По-моему логично