полусфера и заряд

[pra1rekht]

здравствуйте!
наткнувшись на задачу расчёта силы взаимодействия полусферы и заряда, находящегося в её центре, и изучив в определённой мере интегральное исчисление, я стал искать, как решить эту задачу через единственный интеграл по поверхности полусферы. решения такого я не нашёл. может ли кто-нибудь подсказать, как это сделать? конечно, через кольца и проекции должно быть проще, но возможность решения этой задачи через интеграл, мне кажется, даёт хорошую возможность решения гораздо более общего класса задач на взаимодействия тел. да и как-то они мне понятнее)
задачку эту я нашёл на финале всоша по физике прошлого года за десятый класс. сам обучаясь в десятом классе, я только-только начинаю изучать электричество и всё связанное с ним; с интегралами же я знаком подольше. поэтому, пожалуйста, если получится, достаточно подробно во всех составляющих)
огромное спасибо!!!

[Mihr]

pra1rekht в сообщении #1624234 писал(а):

конечно, через кольца и проекции должно быть проще, но возможность решения этой задачи через интеграл

"Через кольца и проекции" - это тоже через интеграл. Только существенно более простой, нежели исходный интеграл по поверхности. По сути, это то же, что и через интеграл по поверхности, но только уже сведённый к повторному интегралу и даже частично вычисленный - по одной переменной интегрирование уже совершено, так что остаётся лишь последний шаг - вычислить определённый интеграл.

pra1rekht в сообщении #1624234 писал(а):

я стал искать, как решить эту задачу через единственный интеграл по поверхности полусферы

Если всё делать "честно" (вариант "в лоб" - называйте как хотите), не используя соображения симметрии, то придётся писать поверхностный интеграл для вычисления каждой компоненты кулоновой силы. То есть, придётся вычислять не один поверхностный интеграл, а три. При том, что и так практически ясно: два из них равны нулю (при разумном выборе направления координатных осей). Если всё это - с целью потренироваться в составлении по тексту задачи и вычислении поверхностных интегралов, то, как говорится, почему бы и нет? Хотя начинать осваивать поверхностные интегралы именно с интегралов такого типа я бы не стал, есть и более подходящие задачи для этого. Если же на первом плане в этой задаче у Вас - физика, а не математика, то как раз имеет смысл приучать себя использовать симметрию задачу и подходящий выбор координат, чтобы максимально упростить решение задачи, а не усложнить его. Физик, как мне думается, всегда стремится разыскать наиболее краткое и изящное решение, а не наиболее вычурное.

[DimaM]

pra1rekht в сообщении #1624234 писал(а):

я стал искать, как решить эту задачу через единственный интеграл по поверхности полусферы. решения такого я не нашёл. может ли кто-нибудь подсказать, как это сделать?

Гм, именно через единственный интеграл она и решается.
Проведем ось $z$ через центральный заряд $q$ перпендикулярно плоскости среза. Тогда из симметрии единственной ненулевой компонентой силы будет $F_z$, которая равна (в системе СГС)

$$F_z=\frac{q\sigma}{R^2}\int \cos\theta dS,$$

где $\sigma=Q/(\pi R^2)$ - поверхностная плотность заряда на полусфере, $\theta$ - угол между осью $z$ и направлением от $q$ к $dS$, интегрирование идет по полусфере.
Можно заметить, что $\cos\theta dS=dS_{\perp}$ - проекция площадки $dS$ на плоскость среза, и интеграл $dS_{\perp}$ считается тривиально.
Или можно увидеть, что сила на площадку пропорциональна площадке и перпендикулярна к ней - совсем как действие давления. Если мысленно представить замкнутую поверхность в виде полусферы и круга с избыточным давлением внутри, то полная сила равна нулю - следовательно, сила на полусферу по величине такая же, как сила, действующая на круг.