Делимость на 24

[Dezire]

Подскажите, пжл-ста, где можно найти доказательство о делимости произведения 4-х последовательных чисел на 24 ?

[Trotil]

Быстрее самому исследовать и проверить. =)

Использовать тот факт, что из $N$ последовательных натуральных найдется такое число, которое будет делиться на $N$.

[ИСН]

Проще скажу: ясно ли, почему произведение двух последовательных чисел делится на 2?

[ewert]

скажу ещё проще: сколько из них гарантированно делятся на 2? сколько -- на 3? сколько -- на 4?

[Henrylee]

Dezire писал(а):

Подскажите, пжл-ста, где можно найти доказательство о делимости произведения 4-х последовательных чисел на 24 ?

А зачем его где-то искать? Попробуйте сами. Ну вот скажите, сколько среди этих чисел четных?

Добавлено спустя 50 секунд:

связь тормозит, опередили

[Dezire]

2 четных

[Really]

Dezire в сообщении #162410 писал(а):

2 четных

Сколько среди этих двух четных делится кроме 2-х еще и на четыре?

[gefest_md]

Сформулируем (как в книге).
$n(n+1)(n+2)(n+3)\,\vdots\,24,\ \ n\in\mathbb{Z}$

Доказать $\forall n\in\mathbb{Z}\exists k\in\mathbb{Z}[n(n+1)(n+2)(n+3)=24k].$

[ewert]

как раз тот случай, когда кванторная форма записи неадекватна до ужаса

[Dezire]

У нас имеются k и (k+1), т.е. 2k и 2(k+1)

k - четное, значит k=2m, а поскольку среди четырех два четных, значит 2*k = 2 * 2 * m = 4m

дальше как?

[gefest_md]

записал так потому что подумал применить индукцию для $\forall nP(n)$

[ewert]

Dezire в сообщении #162455 писал(а):

дальше как?

дальше три

[gefest_md]

1. $0$ делится на $24.$
2. Допустим $P(n)$, то есть $n(n+1)(n+2)(n+3)=24k_1.$ Пусть $k=k_1+i+n^2+1$, где $i=\dfrac{n^3+11n}{6}.$ Пусть $i\in\mathbb{N}.$ Тогда получаем $(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=24k.$ Следовательно $P(n+1).$
3. $\forall n\in\mathbb{N}P(n).$

[Алексей К.]

Любезный(ая), если Вы, отдохнувши с утра, напишете пяток примеров и поглазеете на них, Вы (возможно) всё поймёте.
Почему $1\cdot2\cdot3\cdot4$ делится на 24?
Почему $2\cdot3\cdot4\cdot5$ делится на 24?
Почему $3\cdot4\cdot5\cdot6$ делится на 24?
Почему $9\cdot10\cdot11\cdot12$ делится на 24?
Почему $52\cdot53\cdot54\cdot55$ делится на 24? Потому что 52 делится на 4, 54 --- на 2, 54 --- на 3. А $2\cdot4\cdot3=24$.
Почему $99953\cdot99954\cdot99955\cdot99956$ делится на 24? Потому что...

Не исключаю, что этот способ ориентирован на другой тип мышления и подсказка не в жилу...

[Батороев]

Можно рассмотреть и так:
$a, b, c, d $ - последовательные целые числа, не равные $ 0 $.
$ abcd = ac\cdot bd = (b^2-1)(c^2-1) $

Как минимум, один из квадратов двух последовательных чисел имеет остаток $ 1 $ по основанию $ 3 $, следовательно, как минимум, одно из чисел $ (b^2-1) $ или $ (c^2-1) $ делится на $ 3 $.

Один из квадратов двух последовательных чисел имеет остаток $ 1 $ по основанию $ 8 $, следовательно, либо $ (b^2-1) $, либо $ (c^2-1) $ делится на $ 8 $.