Производящий многочлен

[Mandel]

Есть у меня производящий многочлен:

$P_n(\lambda)=\lambda^n-\sigma_1\cdot\lambda^{n-1}+\sigma_2\cdot\lambda^{n-2}+...+(-1)^n\cdot\sigma^n=0$

где множители зависят от n,т.е.\lambda_k=\lambda_k^n

Допустим n=4 и для этого n коэффициенты равны:

$${\sigma}=\left(\begin{array}{ccc}1 \\ 1/2 \\1/6 \\1/24}\end{array}\right)$$

как мне найти корни (комплексные) производящего многочлена 4-ой степени,а лучше предствить этот многочлен в виде:

$$\sum\limits_{k=0}^4 C_k\cdot\lambda^k$$

Я представил производящий многочлен в виде:
(1/\tau^n)\cdot$$\sum\limits_{k=0}^n \((-1)^k\cdot\tau^k/k!$$
где $\lambda=1/\tau$

Но мне надо найти лучше $\lambda$,чтобы $\lambda_k=\alpha_k$!

[maxal]

Mandel писал(а):

Есть у меня производящий многочлен:

$P_n(x)=\lambda_n-\sigma_1\cdot\lambda^{n-1}+\sigma_2\cdot\lambda^{n-2}+...+(-1)^n\cdot\sigma^n=0$

Непонятно, как определен многочлен P_n(x). Что является коэффициентами и где неизвестная x в правой части? Почему у лямб индекс то снизу, то сверху?

[Mandel]

Извините - исправил.
Вообще $\lambda_k$ - это корни производящего многочлена.Как определяются коэффициенты в принципе здесь не важно (это дроби в знаменателе которых стоят факториалы в зависимости от n).
Мне надо модифицировать многочлен $P_4(\lambda)$ так,чтобы его можно было предствить в виде суммы,но
множители $\lambda$,которые необходимо определить,были не в знаменателе,а в числителе,т.е. стали "лучше".
Хотя бы не $\lambda=1/\tau$,а $\lambda_{k}=\alpha_{k}$

Теперь понятно?

[maxal]

Mandel писал(а):

Мне надо модифицировать многочлен $P_4(\lambda)$ так,чтобы его можно было предствить в виде суммы,но
множители $\lambda$,которые необходимо определить,были не в знаменателе,а в числителе,т.е. стали "лучше".
Хотя бы не $\lambda=1/\tau$,а $\lambda_{k}=\alpha_{k}$

Теперь понятно?

Нет.
Во-первых, что значит "модифицировать многочлен"?
Во-вторых, что значит "предствить в виде суммы"? Суммы чего? Многочлен по определению является суммой одночленов.
В-третьих, что еще за "множители $\lambda$"? До этого $\lambda$ была переменной.
В-четвертых, как понимать "не в знаменателе"? Лямбд в знаменателе у нас и не было.
И, наконец, что такое C_k и $\alpha_{k}$?

[Руст]

Возможно он хочет получить другой многочлен корни которой являются обратными к корням исходной? Это очень просто.

[Mandel]

Лучше я переформулирую задачу:
Составить такой многочлен $P_n(\lambda)$ (хотя бы при n=4),такой,что его корни $\lambda$ являются решениями системы:

\[\left\{\begin{array}[c]}S_1=1,&\\S_2=0,&\\S_3=0,&\\S_4=0\end{array}\right\]

где
$S_m=S_m(\lambda_1,...,\lambda_n)=\lambda_{1}^m+...+\lambda_{n}^m$,где m=1,2,...n

[maxal]

Это делается по формулам Ньютона-Жирара.

[Mandel]

Т.е. Вы имеете ввиду рекуррентные формулы Ньютона?

[maxal]

Неужели так трудно кликнуть по ссылке?

[Руст]

А зачем какие то формулы, когда и так ясно, единственным решением системы является только нули. Соответственно многочлен есть ламда в степени n.

[maxal]

Руст писал(а):

А зачем какие то формулы, когда и так ясно, единственным решением системы является только нули.

Нули не удовлетворяют первому уравнению.

[maxal]

А формулы Ньютона-Жирара и Виетта как раз дают коэффициенты многочлена в виде величин обратных к факториалам с чередующимися знаками. Именно так как и было указано в первом сообщении треда.

[Mandel]

Я знаю.Я так и делал.А нельзя ли подобрать другой многочлен,который тоже удовлетворял моей системе?

[maxal]

Mandel писал(а):

Я знаю.Я так и делал.А нельзя ли подобрать другой многочлен,который тоже удовлетворял моей системе?

Многочлен 4-й степени определен указанной системой однозначно.
Если нужен другой - то если только бОльшей степени.

[Mandel]

1)

Цитата:

Если нужен другой - то если только бОльшей степени.

А например какой?

2)Т.е. Вы хотите сказать,что многочлен P_4(\lambda)
можно предствить только в таком виде,т.е. корни многочлена являются корнями такого уравнения и больше никакого:
\sum\limits_{k=0}^4 (-1)^{k}\cdot\lambda^{n-k}/k!=(1/\tau)^n\cdot\sum\limits_{k=0}^4 (-1)^{k}\cdot\tau^{k}/k!=0,где \lambda=1/\tau