KoMal Problem ( 1975. No 12 )

[rsoldo]

If the polynomials $P(x)$ and $Q(x)$ have integral values for the same values of $x$, then either $P(x)+Q(x)$ or $P(x)-Q(x)$ is constant. Prove it.

[TOTAL]

rsoldo в сообщении #1623075 писал(а):

have integral values

Пожалуйста, другими словами скажите, какие values.

[Null]

Целые :)

[zykov]

Но не понятно, для каких $x$? Что значит "для одинаковых"?

[Leeb]

Что-то да, непонятное. В том виде как сейчас тривиальный контрпример $x^2+2x+1, x^2$. На одних и тех же иксах принимают целые значения. Или имеется в виду, что те $x$ где оба $P,Q$ принимают всевозможные целые значения в точности совпадают? Т.е. если выясняется что есть множество иксов, на котором $P(x),Q(x)\in Z$ и других целых точек у $P,Q$ нет, то тогда отличаются на константу.

[zykov]

rsoldo в сообщении #1623075 писал(а):

for the same values of $x$

rsoldo, can you clarify this point?

[Null]

Leeb в сообщении #1623108 писал(а):

В том виде как сейчас тривиальный контрпример $x^2+2x+1, x^2$. На одних и тех же иксах принимают целые значения.

$x=\sqrt 2$ - второе целое, первое нет.

-- Ср дек 20, 2023 13:12:26 --

Я так понял что $P(x)$- целое $\Leftrightarrow$ $Q(x)$- целое. Тогда задача решается.

[Leeb]

И что, есть же точки, целое бесконечное множество на которых они оба принимают целые значения. Это к тому, что нужно все же уточнить условие.

-- 20.12.2023, 13:13 --

Null

Да, ваша интерпретация лучше моей, но это все равно должен был тс нормально написать изначально.

[Null]

Leeb в сообщении #1623111 писал(а):

Да, ваша интерпретация лучше моей, но это все равно должен был тс нормально написать изначально.

ТС пишет что множества $\{x|P(x)\in\mathb{N}}\}$ и $\{x|Q(x)\in\mathb{N}}\}$ совпадают. Вполне конкретно.

[Dendr]

Будем полагать, что коэффициент при старшем члене каждого из полиномов - положительный (иначе домножим многочлен на $-1$, целочисленности его значений это не изменит). Тогда начиная с какого-то значения аргумента $x=X$ значения многочленов монотонно растут, а в силу их непрерывности уравнения вида $P(x)=n\in\mathbb{Z}, n>P(X)$ всегда имеют хотя бы одно решение $x>X$.

Рассмотрим такую точку $x_0>X$, в которой:

$$P(x_0)=p\in\mathbb{Z}, Q(x_0)=q\in\mathbb{Z}$$

Поскольку $P(x>x_0)$ - функция монотонно возрастающая, то есть имеется последовательность $x_0<x_1<x_2<...<x_k<...$, которой соответствует последовательность $P(x_0)<P(x_1)<P(x_2)<...<P(x_k)<...$, которая, в свою очередь, всего лишь состоит из последовательных целых чисел: $p<p+1<p+2<...<p+k<...$.
Аналогично для $Q(y>x_0)$ есть последовательность $x_0<y_1<y_2<...$, которой соответствует $q<q+1<q+2<...$
По условию целые значения принимаются в одних и тех же точках, без пропусков и наложений, значит, последовательности совпадают почленно: $x_1=y_1, x_2=y_2, ...$.

Таким образом, уравнения $P(x)=p+d, Q(x)=q+d, d\in\mathbb{N}$ имеют одно и то же решение $x_d=\varphi(d)$.

В этих точках $R(x_d)=P(x_d)-Q(x_d)=p-q$
То есть имеется полином, который принимает одно и то же значение в бесконечном количестве точек, но это означает, что $R(x)=P(x)-Q(x)=p-q$. Если мы меняли знак какого-то из полиномов в самом начале, здесь можно поменять обратно, и таким образом перейти от разности полиномов к сумме, что в итоге доказывает утверждение задачи.

[rsoldo]

I understood the Problem the same as Null ( "... принимают целые значения для тех же значений аргумента $x$ ..." ).