Дифференциальное неравенство

[Padawan]

Функция $f(x)$ дифференцируема на отрезке $[a, b]$, для некоторой константы $k>0$ удовлетворяет неравенству $|f'(x)|\leqslant k|f(x) |$, и $f(a) =0$. Докажите, что $f(x)=0$ для всех $x\in [a, b]$.

[Null]

Пусть $z=\sup\{x|(a\le x\le b)\cap\forall t(a\le t\le x \Rightarrow f(t)=0)\}$.
$f(z)=0$ по непрерывности.
Если $z=b$ задача решена.
Иначе существует $h_0>0$ такое что $f(z+h_0)\neq 0, z+h_0<b, kh_0<1$
Существует $h_{i+1}<h_i$ такое что $f(z+h_i)-f(z)=h_i f'(z+h_{i+1})$, тогда $|f(z+h_{i+1})|\ge|\frac{f'(z+h_{i+1})}{k}|=|\frac{f(z+h_i)}{kh_i}|\ge|\frac{f(z+h_i)}{kh_0}|$
$|f(z+h_i)|\to\infty$ - противоречие

[Padawan]

Null
Спасибо. Мое решение. Рассмотрим функцию $g(x) =e^{-kx}f(x)$. Она тоже дифференцируема. Используя заданное условие $|f'(x)|\leqslant k|f(x)|$, можно показать, что при $g(x)\geqslant 0$ будет $g'(x)\leqslant0$, а при $g(x)\leqslant 0$ будет $g'(x)\geqslant 0$. Отсюда, предполагая, что $g(a)=0$ и $g(x) \neq 0$ при некотором $ x>a$, и используя небольшую возню с последующим применением теоремы Лагранжа, получим противоречие.

[RIP]

Можно и без Лагранжа: $(g^2)'\leqslant0$, поэтому функция $g^2$ невозрастающая.

[Padawan]

Точно, как просто! А то этот чертов модуль мешается.

[schmetterling]

Можно ещё заметить, что у $\ln |f|$ конечное изменение на любом отрезке, значит, $\ln |f| = -\infty$