Гомоморфизм конечно порожденной абелевой группы на себя

[lstrf11]

Доказать, что всякий гомоморфизм конечно порожденной абелевой группы на себя является автоморфизмом.

Я пробовал доказывать по теореме о гомоморфизмах. Любая подгруппа в абелевой группе нормальна, следовательно любая подгруппа может быть ядром. Подгруппа тоже является конечно порожденной группой. В таком случае фактор-группа по ней в общем случае прямая сумма какого-то количества циклических групп и групп целых чисел по сложению, что совпадает с изначальной конечно порожденной абелевой лишь в том случае, если циклических групп там не будет, а будет $n$ слагаемых вида $\mathbb{Z}$, где $n$ - число порождающих элементов исходной группы. Такое может быть, если взятая нами нормальная подгруппа состоит из нуля (в противном случае, мы не получим нулевую целочисленную матрицу, которая как раз характеризует фактор-группу по взятой нами нормальной подгруппе). То есть ядро - только нейтральный элемент, следовательно отображение инъективно.
Тогда конечное число порождающих элементов переходит в различные элементы, а следовательно получаем конечно порожденную абелеву группу с базисом той же размерности. Не очень понимаю, следует ли из этого сюръективность? То есть по идее же все конечно порожденные абелевы изоморфны какой-то прямой сумме конечного количества групп $\mathbb{Z}$?.. Мы же можем перейти к базису из образов элементов исходного базиса. А через элементы базиса можно выразить любой элемент.

[dgwuqtj]

Конечно порождённые абелевы группы могут иметь кручение, это не обязательно $\mathbb Z^n$. Так что ядро гомоморфизма из такой группы тоже может иметь кручение. Даже если у вас изначально абелева группа свободная, из того, что её базисные элементы переходят в различные элементы, не следует тривиальность ядра. А сюръективность вам доказывать не надо, она по условию дана.

Вообще задача заключается в том, чтобы доказать, что у конечно порождённой абелевой группы $A$ нет нетривиальных подгрупп $X \leq A$ таких, что $A \cong A / X$. Можете начать с того, что $X$ не может быть бесконечной.