К выводу плазменной частоты в "Лекции по физике плазмы"

[apv]

Лекции по физике плазмы. Д. А. Франк-Каменецкий. М., Атомиздат, 1968.


Не пойму, как выводится плазменная частота (Глава 1. Квазинейтральность и разделение зарядов).

Д. А. Франк-Каменецкий. в Лекции по физике плазмы. М., Атомиздат, 1968. писал(а):

Выведем выражение для плазменной частоты общим способом. Пусть в результате разделения зарядов в плазме возник объемный заряд плотностью $q$. По закону сохранения заряда:

\begin{equation} \frac{\partial q}{\partial t} = - \operatorname{div}\vec{j}. \tag{1.7} \end{equation}

где $\vec{j}$ - плотность тока. Допустим, что ток переносится только электронами. Тогда

\begin{equation} \vec{j} = - ne\vec{v}, \tag{1.8} \end{equation}

где $\vec{v}$ - скорость электронов, переносящих ток («токовая скорость»). Уравнение движения электрона

\begin{equation} m\frac{d\vec{v}}{dt} = -e\vec{E}. \tag{1.9} \end{equation}

Подставив выражение (1.8) в уравнение (1.7), продифференцировав последнее по времени и подставив затем уравнение (1.9), получим

\begin{equation} \frac{\partial^2 q}{\partial t^2} = - \frac{ne^2}{m}\operatorname{div}\vec{E}. \tag{1.10} \end{equation}

При этом, имея в виду линейные колебания и не делая различия между частной и полной производными времени, отбросим все квадратичные члены, а $n$ вынесем за знаки дифференциалов. По уравнению Максвелла

\begin{equation} \operatorname{div}\vec{E} = 4\pi q. \tag{1.11} \end{equation}

Подставив это выражение в уравнение (1.10), получим

\begin{equation} \frac{\partial^2 q}{\partial t^2} = - \frac{4\pi ne^2}{m}q. \tag{1.12} \end{equation}

Теперь уже не обкладки воображаемого конденсатора, а плотность объемного заряда в плазме колеблется с той же круговой частотой:

\begin{equation*} \omega_0 = \sqrt{\frac{4\pi ne^2}{m}} \end{equation*}

Я не пойму вот чего.

1. Ведь $q = -ne$, а значит уравнение (1.12) должно выглядеть как-то так:

\begin{equation*} \frac{\partial^2 q}{\partial t^2} = \frac{4\pi}{m} q^2. \end{equation*}

Из этого уравнения уже никакой частоты разглядеть нельзя.

2. Из-за флуктуаций заряда, концентрация электронов $n$ не однородна, она есть функция $n = n(x, y, z, t)$, почему в (1.10) она вынесена из-под дивергенции?

Мне как-то не хватает больше математических подробностей, автор в этом месте

Д. А. Франк-Каменецкий писал(а):

отбросим все квадратичные члены...

включил Ландавшица и я потерялся.

[Geen]

apv в сообщении #1622748 писал(а):

Ведь $q = -ne$

А не $q\ll ne$ разве?

[apv]

Geen в сообщении #1622749 писал(а):

apv в сообщении #1622748 писал(а):

Ведь $q = -ne$

А не $q\ll ne$ разве?

Ну $\vec{j} = q\vec{v} = -ne\vec{v}$ (по 1.8), значит $q = -ne$. Хотя, по идее должно быть как Вы пишете $q\ll ne$.

[warlock66613]

apv в сообщении #1622748 писал(а):

Ведь $q = -ne$

Так было бы если бы заряжены были только электроны. Но есть ещё и ионы. Ионы не вносят вклад в ток (в рассматриваемом приближении), но в заряд очень даже вносят.

[apv]

warlock66613 в сообщении #1622752 писал(а):

apv в сообщении #1622748 писал(а):

Ведь $q = -ne$

Так было бы если бы заряжены были только электроны. Но есть ещё и ионы. Ионы не вносят вклад в ток (в рассматриваемом приближении), но в заряд очень даже вносят.

Кажись догоняю...

Если вследствие теплового движения частиц возникла разность плотности электронов и ионов $\delta n = n_e - n_i$, то появится электрический заряд с плотностью
$q = - e \delta n$, тогда уравнение непрерывности для заряда должно быть такое:

$$ -e\frac{\partial \delta n }{\partial t} = - e\operatorname{div} n_e \vec{v}. $$

по $n_e$ под дивергенцией все же есть функция от координат:

$$ n_e = n_{e_0} + \vec{l}\cdot\nabla n_e + \ldots $$