Построения с помощью циркуля, линейки и др.

[e7e5]

Пусть известен действительный корень $x_0$ уравнения пятой степени:
$x^5 + 3x^4 + 4x^3 + x -1 = 0$ (через специальные функции).
Этот корень используется в дальнейших вычислениях, содержащих радикалы.

Вопрос первый: можно ли придумать геометрические построения, чтобы отложить отрезок длиной $|x_0|$? (может нужно еще что-то, кроме циркуля и линейки? или можно ли придумать способ откладывать корни пятой степени с целыми коэффициентами на числовой оси? или в пространстве?).
Вопрос второй: Может ли быть такое такое, что в ходе дальнейших вычислений с применением радикалов (или каких-то преобразований), получится число пригодное для геометрического построения?

[wrest]

e7e5 в сообщении #1622250 писал(а):

Вопрос первый: можно ли придумать геометрические построения, чтобы отложить отрезок длиной $|x_0|$?

Ну тут не очень понятно что вы хотите. Откладываете любой отрезок и говорите "это отрезок длины $|x_0|$.
Но тогда, конечно, вы не сможете циркулем и линейкой отложить отрезок длины 1 на том же чертеже.

e7e5 в сообщении #1622250 писал(а):

Вопрос второй: Может ли быть такое такое, что в ходе дальнейших вычислений с применением радикалов (или каких-то преобразований), получится число пригодное для геометрического построения?

Может, конечно. Например если вы отложили отрезок $|x_0|$ то легко отложите и любой отрезок $\frac pq |x_0|$ для любых натуральных $p,q$

[Booker48]

Посмотрите статью в вики "Построение с помощью циркуля и линейки" и ссылки в этой статье.

Цитата:

Исходя из возможных построений отрезков возможны следующие построения:

Построение решений линейных уравнений.
Построение решений уравнений, сводящихся к решениям квадратных уравнений.
Иначе говоря, возможно строить лишь отрезки, равные арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (заданных длин отрезков).

Решение должно выражаться при помощи квадратных корней, а не радикалов произвольной степени. Если даже алгебраическое уравнение имеет решение в радикалах, то из этого не следует возможность построения циркулем и линейкой отрезка, равного его решению. Простейшее такое уравнение: $x^3-2=0$, связанное со знаменитой задачей на удвоение куба, сводящаяся к этому кубическому уравнению. Как было сказано выше, решение этого уравнения $\sqrt[3]{2}$ невозможно построить циркулем и линейкой.

[e7e5]

wrest в сообщении #1622265 писал(а):

Ну тут не очень понятно что вы хотите. Откладываете любой отрезок и говорите "это отрезок длины $|x_0|$.
Но тогда, конечно, вы не сможете циркулем и линейкой отложить отрезок длины 1 на том же чертеже.

В том и дело, что "1" нужна.
Поискав, нашел в интернете несколько статей по построению действительных корней пятой степени с помощью циркуля и линейки с насечками, например:
"On constructing real 5th roots by marked ruler and compass through verging between a line and a circle" https://www.hindawi.com/journals/isrn/2012/487275/
И более ранняя статья 2002 года, на которую ссылаются ( в частности пример теоремы о трисекции угла - возможно разделить циркулем и линейкой с насечкой):
"Constructions Using a Compass and Twice-Notched Straightedge"
https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00029890.2002.11919848
Как это работает для моего случая не разобрался.

[wrest]

e7e5 в сообщении #1622296 писал(а):

Как это работает для моего случая не разобрался.

В вашем случае, кажется, корни не выражаются в радикалах.
В общем, мне кажется, что дело гиблое. Но я не специалист, подождите может кто ответит.

[EUgeneUS]

wrest
Вы всё верно написали. Не решается эта задача циркулем и линейкой.
Каким-то расширением "приборов" - может и решится.
Так тогда и квадратура круга решается

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1622341 писал(а):

Не решается эта задача циркулем и линейкой.

Это понятно.

EUgeneUS в сообщении #1622341 писал(а):

Каким-то расширением "приборов" - может и решится.

А вот это как раз и не понятно - какое именно нужно "минимальное" расширение прибора... Ясно, что если на линейке есть засечки для единичной длины и искомого корня, то тогда можно его построить (тупо по этим засечкам).

EUgeneUS в сообщении #1622341 писал(а):

Так тогда и квадратура круга решается

Да, ну вот так-то тот же невсис (и вообще кинематические методы) не кажется "таким уж прям" читерством и скажем для практических построений вполне себе нормальный инструмент. Но с другой стороны, численные методы можно и без калькуляторов применять (как и делали пока калькуляторы не появились). Тут не вполне ясна практическая часть решаемой ТС-ом задачи.

[e7e5]

wrest в сообщении #1622344 писал(а):

Тут не вполне ясна практическая часть решаемой ТС-ом задачи.

Практическая часть заключается в возможности или невозможности построения специального прямоугольника:
"Прямоугольник со сторонами $a$, $b$ ($a<b$) сгибается по прямой проходящей через точку пересечения его диагоналей так, чтобы площадь соприкасающихся частей была минимальна: существует такое соотношение сторон $\frac{a} {b}$ , при котором соприкасающиеся части прямоугольника образуют треугольник или пятиугольник площадью $\frac {a^2} {2}$".
Чтобы найти отношение сторон, нужно решить уравнение пятой степени - понятно, численно это делается. Вопрос в том, можно ли сконструировать геометрически такой прямоугольник при помощи какого-то набора инструментов (циркуль, линейка с насечкой и др.)?

[EUgeneUS]

e7e5 в сообщении #1622361 писал(а):

существует такое соотношение сторон $\frac{a} {b}$ , при котором соприкасающиеся части прямоугольника образуют треугольник или пятиугольник площадью $\frac {a^2} {2}$".

1. Если под площадью соприкасающихся частей понимать двойную площадь фигуры соприкосновения, то она не может быть меньше $\frac{\pi a^2}{4} \approx 0.785$, что больше заявленной половины.

2. Если же под площадью соприкасающихся частей понимать одинарную площадь фигуры соприкосновения, то всё тривиально: для достаточно длинной ленты (достаточно большого $b$) минимальная площадь этой фигуры и будет $a^2 /2$

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1622368 писал(а):

для достаточно длинной ленты (достаточно большого $b$) минимальная площадь этой фигуры и будет $a^2 /2$

А зачем длинная? Если квадрат со стороной $a$ по диагонали сложить, то тоже $\dfrac {a^2}{2}$ получится...
Т.е. для любых $b\ge a$ так сложить можно.

[e7e5]

EUgeneUS в сообщении #1622368 писал(а):

2. Если же под площадью соприкасающихся частей понимать одинарную площадь фигуры соприкосновения, то всё тривиально: для достаточно длинной ленты (достаточно большого $b$) минимальная площадь этой фигуры и будет $a^2 /2$

Да, но в условии говорится об особом прямоугольнике ( сгибая прямоугольник через его центр под разными углами, получится либо треугольник либо пятиугольник, при этом площади этих фигур равны). Интересует именно возможность построения такого особого прямоугольника.

[EUgeneUS]

wrest
Для квадрата можно достичь площади фигуры пересечения (одинараная) $\sqrt{2}-1 \approx 0.41$ Видимо, она и есть минимальная для квадрата, но строго не доказал.

-- 14.12.2023, 12:22 --

e7e5 в сообщении #1622371 писал(а):

Да, но в условии говорится об особом прямоугольнике ( сгибая прямоугольник через его центр под разными углами, получится либо треугольник либо пятиугольник, при этом площади этих фигур равны). Интересует именно возможность построения такого особого прямоугольника.

И эта площадь будет минимальной? (для этого прямоугольника)

[e7e5]

wrest в сообщении #1622370 писал(а):

А зачем длинная? Если квадрат со стороной $a$ по диагонали сложить, то тоже $\dfrac {a^2}{2}$ получится...

В задаче, вообще говоря, квадрат не рассматривается, т.к. $a<b$ в практических пояснениях ТС.

-- Чт дек 14, 2023 13:29:02 --

EUgeneUS в сообщении #1622372 писал(а):

wrest
Для квадрата можно достичь площади фигуры пересечения (одинараная) $\sqrt{2}-1 \approx 0.41$ Видимо, она и есть минимальная для квадрата, но строго не доказал.

Да, верно, но нужен такой прямоугольник, у которого при сгибании еще бы и пятиугольник такой же площади получился ( $\frac {a^2}{2}$).

-- Чт дек 14, 2023 13:40:39 --

EUgeneUS в сообщении #1622372 писал(а):

e7e5 в сообщении #1622371 писал(а):

Да, но в условии говорится об особом прямоугольнике ( сгибая прямоугольник через его центр под разными углами, получится либо треугольник либо пятиугольник, при этом площади этих фигур равны). Интересует именно возможность построения такого особого прямоугольника.

И эта площадь будет минимальной? (для этого прямоугольника)

Да, это особый такой прямоугольник, единственный.

[EUgeneUS]

e7e5
Хорошо.
Действительный корень приведенного выше уравнения примерно равен $0.459$.
И это явно не величина стороны $b$ при $a=1$.
Поясните, пожалуйста, какое отношение этот корень имеет к длинам этого волшебного прямоугольника.

[e7e5]

EUgeneUS в сообщении #1622388 писал(а):

Поясните, пожалуйста, какое отношение этот корень имеет к длинам этого волшебного прямоугольника.

Это второй вопрос ТС. Чтобы найти сторону этого единственного прямоугольника нужно выполнить некоторые элементарные преобразования ( типа умножение, сложение, возведение в степень, извлечение квадратного корня).
Если уметь "конструировать" геометрически корень уравнения пятой степени, то удастся выполнить эти некоторые преобразования с помощью циркуля и линейки.