Приходится очень хитрить, чтобы заниматься матанализом в таких условиях, разработаны способы ходьбы на голове ("бесточечная топология").
А не лучше вместо бесточечной топологии в этом контексте сразу говорить о категорных версиях анализа? (Например, в стиле симметрических моноидальных категорий с модальностью коалгебры или каких-нибудь других подобных).
Я понимаю все это дело примерно следующим образом.
Есть "дуальность" между обычными теориями и их категорными аналогами. Проще рассмотреть на примерах.
1)Раньше была универсальная алгебра в стиле Мальцева (логика первого порядка, сигнатуры, модели и все такое). А теперь, слава богу, есть гораздо более внятная категорная версия универсальной алгебры, где мы определяем, например, алгебраическую теорию как локально малую категорию с малыми пределами, которая очень хорошо себя ведет по отношению к некоторому контравариантному функтору из Set в нее.
2)Есть гомологическая алгебра, а есть абелевы категории, в которых выполняется добрый кусок гомологической алгебры, включающий змеевидную лемму, лемму о пяти морфизмах,
лемму и т.п.
3)Есть общая топология с элементами, а есть бесточечная топология, где вместо элементов - "обобщенные" элементы (морфизмы из терминальных объектов).
4)Есть обычная дифференциальная геометрия, а есть синтетическая.
Так вот, я понимаю так, что обычный анализ и категорный анализ находятся в таком же соотношении (понятном из примеров выше). Я имел в виду, что без счетной аксиомы выбора обычный анализ на мой взгляд мертв.
, то 
. Это просто определение (не)пустого множества. Но да, аксиома выбора нужна для чего-то похожего, только в более сложном контексте.