Есть такая (вроде классическая) задача.
Пусть

- два всюду плотных счётных подмножества вещественных чисел, тогда существует гомеоморфизм

, такой, что

.
Как решать этот вариант, я, вроде, смог разобраться (там немного дурацкое решение, не очень понятно, как доказывать сюръективность, но в целом более менее ясно).
Далее, хочется это решить для многомерного случая, то есть теперь

и

- подмножества евклидова

-мерного пространства.
Идея решения: берём эти множества, проецируем на все координатные оси. В проекциях полученные множества

,

также будут счётными и всюду плотными (это очевидно), на каждом строим функцию, которая была для 1-мерного случая

, затем собираем большую функцию покоординатно как

.
Однако, это решение неверно, простейший контрпример:

- множество всех рациональных точек в

(обе координаты рациональны), а

- множество

, в котором выкинуты все точки с

, кроме

.
Другими словами,

,

.
Все проекции тут равны

, и построение выше даст два тождественных отображения

, которые в итоге на

также дадут тождественное отображение, которое не годится (

будет больше, чем

).
В итоге дальше у меня тупик. Покоординатный метод не удался. Я вообще начал сомневаться, что это утверждение верно для многомерного случая, но как можно строить контрпример - не могу придумать (вообще, не очень понимаю, как доказывать негомеоморфность таких сложных топологических пространств, это не многообразия, где можно пользоваться алгеброй...)
Буду благодарен за любые идеи/подсказки.