Ранг системы векторов

[romanhladuno]

Как доказать что ранг системы векторов равняется количеству линейно независимых векторов этой системы ? То есть , например если у нас есть система векторов в которой два независимых то размерность линейной оболочки тоже равняется двум.

[Sinoid]

romanhladuno в сообщении #1621685 писал(а):

Как доказать что ранг системы векторов равняется количеству линейно независимых векторов этой системы ?

В системе векторов $(1,\,0,\,0),\,(0,\,1,\,0)\,(0,\,0,\,1)$ первые 2 вектора линейно независимы. Равен ли ранг этой, первоначальной, системы векторов двум?

[ozheredov]

Sinoid в сообщении #1621689 писал(а):

В системе векторов $(1,\,0,\,0),\,(0,\,1,\,0)\,(0,\,0,\,1)$ первые 2 вектора линейно независимы.

С какими коэффициентами? (sorry, подозреваю что я чудовищно туплю).

[warlock66613]

Да напрямую по определениям и доказывать. Выписать определение ранга, определение линейной независимости и показать как одно превращается в другое.

[Sinoid]

ozheredov в сообщении #1621691 писал(а):

Sinoid в сообщении #1621689 писал(а):

В системе векторов $(1,\,0,\,0),\,(0,\,1,\,0)\,(0,\,0,\,1)$ первые 2 вектора линейно независимы.

С какими коэффициентами? (sorry, подозреваю что я чудовищно туплю).

ozheredov, пишу равенство $\alpha(1,\,0,\,0)+\beta(0,\,1,\,0)=(0,\,0,\,0)$. Можете сказать, чему равны $\alpha$ и $\beta$ в этом равенсиве?

Векторы не могут быть независимыми с какими-то коэффициентами (я имею ввиду таким каким-нибудь набором их, в котором хотя бы 1 из этих коэфициентов отличен от 0). Зависимые - да, могут (быть зависимыми с каким-нибудь набором коэффициентов, в котором (наборе) хотя бы 1 из этих коэффициентов отличен от 0), но не независимые!.

[KhAl]

romanhladuno в сообщении #1621685 писал(а):

То есть , например если у нас есть система векторов в которой два независимых то размерность линейной оболочки тоже равняется двум.

Ну, смотрите. Размерность линейной оболочки это мощность (в смысле, количество элементов) какого-то из базисов этой линейной оболочки (конечно, отдельной проблемой будет доказать, что это количество не зависит от выбранного базиса, но будем считать, что этот нетривиальный момент уже пройден).

Нужно найти в этой линейной оболочке хотя бы один базис, тогда узнаем и её размерность. Откуда взять этот базис?

[мат-ламер]

romanhladuno в сообщении #1621685 писал(а):

Как доказать что ранг системы векторов равняется количеству линейно независимых векторов этой системы ? То есть , например если у нас есть система векторов в которой два независимых то размерность линейной оболочки тоже равняется двум.

Предлагаю в качестве упражнения доказать лемму. Если у нас есть две конечные системы векторов. И пусть каждый вектор второй системы линейно выражается через вектора первой системы. И пусть векторы второй системы линейно независимы. Тогда количество векторов второй системы не больше количества векторов первой системы. Подсказка: применить индукцию по количеству векторов первой системы. (И если с этим будет затык, то эту лемму можно в учебниках найти). (Далее можно доказать, что и векторы первой системы линейно независимы).

[Евгений Машеров]

Это вообще может быть определением ранга системы векторов. Если же это не так - приведите определение ранга системы векторов, с которым работаете.

[ozheredov]

Sinoid в сообщении #1621699 писал(а):

$\alpha(1,\,0,\,0)+\beta(0,\,1,\,0)=(0,\,0,\,0)$. Можете сказать, чему равны $\alpha$ и $\beta$ в этом равенсиве?

А, я не заметил частицу НЕ, извините

[romanhladuno]

Попробую немного уточнить. Рассматривается любой набор векторов какого-то линейного пространства, в нем не обязательно все вектора линейно независимые. В любом случае в этом наборе есть какое-то максимальное количество линейно независимых векторов.

Как доказать что в линейной оболочке не может существовать система линейно независимых векторов количество которых больше этого максимального количества ?

[Dedekind]

romanhladuno
Посмотрите вот тут http://angem.ru/analiticheskaya_geometr ... n=17&id=74

[Евгений Машеров]

romanhladuno в сообщении #1621728 писал(а):

Как доказать что в линейной оболочке не может существовать система линейно независимых векторов количество которых больше этого максимального количества ?

А никак. В такой формулировке утверждение неверно. Если "любой набор" - то вполне можно рассмотреть набор векторов, принадлежащий подпространству меньшего ранга. Тогда число независимых векторов в этом наборе будет меньше числа независимых векторов в общем случае.
Уточните формулировку, и желательно выписав определения понятий, с которыми работаете, и аксиом, на которые опираетесь.

[KhAl]

Евгений Машеров, так Вас спросили, почему не может быть больше линейно независимых векторов, а Вы отвечаете, что их может быть меньше, это несколько странно...

-- 10.12.2023, 19:44 --

romanhladuno, если так формулировать вопрос, то я советую послушать мат-ламер.

Ваше вопрос к сводится этой лемме, если в качестве первой системы взять Ваш максимальный набор линейно независимых векторов (нужно доказать, что он линейно порождает подпространство, но это несложно), а в качестве второй — другую систему линейно независимых векторов в подпространстве.