Определение магнитного момента

[apv]

Приветстую, помогите разобраться.

Предположим, что замкнутый проволочный виток с током произвольной формы находится в однородном магнитном поле $ \vec{B} = \operatorname{const} $.


Ищем момент сил Ампера как:

$$ \vec{M} = \oint\limits_L \vec{r}' \times (Id\vec{\ell} \times \vec{B}), $$

где $L$ - замкнутый контур.

Известно, что ответ должен быть таким:

$$ \vec{M} = \left(\frac{I}2 \oint\limits_L \vec{r}'\times d\vec{\ell}\right) \times \vec{B} = \vec{p}_m \times \vec{B}, $$

где магнитный момент:

$$ \vec{p}_m = \frac{I}2 \oint\limits_L \vec{r}'\times d\vec{\ell} $$

Как получить этот результат. Почему это

$$ \oint\limits_L \vec{r}'\times( Id\vec{\ell} \times \vec{B}) \stackrel{?}{=} - \vec{B} \times \left( \frac{I}2 \oint\limits_L \vec{r}'\times d\vec{\ell}\right) $$

должно быть равно?

bac-cab ни к чему хорошему не приводит. Через Стокса вроде получается, но может есть более простой способ?

[Cos(x-pi/2)]

apv
Если вопрос ещё актуален, то вот попытка ответить простым способом: всё-таки стоит применить "бац минус цаб" (в двух местах), и учесть (тоже пару раз) тот факт, что интеграл от градиента однозначной функции $f(\vec{r})$ по замкнутому контуру равен нулю. Ваш вопрос про интегралы не решается без интегралов.

Поясню на всякий случай, что $d\vec{\ell}$ можно понимать как приращение $d\vec{r}$ радиус-вектора $\vec{r}$ точек той линии, вдоль которой ведётся интегрирование, а интеграл от $\operatorname{grad} f \cdot d\vec{r}=df$ на незамкнутой линии с начальной и конечной точками $\vec{r}_1$ и $\vec{r}_2$ есть просто разность значений функции: $f(\vec{r}_2)-f(\vec{r}_2).$ Если линия замкнута, то $\vec{r}_1 = \vec{r}_2,$ так что разность значений функции (а с ней и интеграл от $df)$ в случае однозначной функции $f$ обращается в ноль.

Постоянную $I$ временно включим множителем в постоянный вектор $\vec{B},$ т.е. не пишем $I,$ чтобы стало меньше буковок в формулах. Итак, по правилу "бац минус цаб" имеем:

$$ \vec{r}\times(d\vec{r}\times \vec{B})=d\vec{r}(\vec{r}\cdot\vec{B}) - \vec{B}(\vec{r} \cdot d\vec{r})$$

Здесь в правой стороне во втором слагаемом видится приращение $df$ однозначной функции: $\vec{r} \cdot d\vec{r}=\frac{1}{2}d(\vec{r} \cdot \vec{r})=d(\frac{r^2}{2}).$ Поэтому интеграл от второго слагаемого равен нулю, остаётся только вклад от первого слагаемого:

$$\oint \vec{r}\times (d\vec{r}\times \vec{B})= \oint d\vec{r}(\vec{r}\cdot\vec{B}).$$

Здесь подынтегральное выражение в правой стороне запишем как сумму его половин и, кроме того, добавим и вычтем одну и ту же величину, так что:

$$d\vec{r}(\vec{r}\cdot\vec{B})=\frac{1}{2}\left (d\vec{r}(\vec{r}\cdot\vec{B})+\vec{r}(d\vec{r}\cdot\vec{B}) \right )+$$

$$+\frac{1}{2}\left (d\vec{r}(\vec{r}\cdot\vec{B})-\vec{r}(d\vec{r}\cdot\vec{B}) \right )$$

По правилу "бац минус цаб" имеем:

$$\frac{1}{2}\left (d\vec{r}(\vec{r}\cdot\vec{B})-\vec{r}(d\vec{r}\cdot\vec{B}) \right )=-\vec{B}\times \frac{1}{2}\left (\vec{r}\times d\vec{r}\right ),$$

так что это слагаемое при интегрировании как раз и даст желаемую Вами формулу.

Предыдущее же слагаемое при интегрировании даёт ноль. Чтобы в этом убедиться, возьмём произвольный постоянный вектор $\vec{a}$ и составим вот такую функцию: $f(\vec{r})=(\vec{a}\cdot \vec{r})(\vec{B}\cdot \vec{r}).$ Тогда $df=(\vec{a}\cdot d\vec{r})(\vec{B}\cdot \vec{r})+(\vec{a}\cdot \vec{r})(\vec{B}\cdot d\vec{r}). $ Интеграл по замкнутому контуру от этого выражения равен нулю:

$$0=\oint df=\vec{a}\cdot \oint \left (d\vec{r}(\vec{B}\cdot \vec{r}) + \vec{r}(\vec{B}\cdot d\vec{r}) \right ). $$

Поскольку это верно при произвольном $\vec{a},$ то

$$\oint \left (d\vec{r}(\vec{B}\cdot \vec{r}) + \vec{r}(\vec{B}\cdot d\vec{r}) \right )=0.$$

[Null]

$d\vec{r}(\vec{B}\cdot \vec{r}) + \vec{r}(\vec{B}\cdot d\vec{r}) =d(\vec{r}(\vec{B}\cdot \vec{r}))$