Исследование функции на абсолютный минимум

[arqady]

Найдите наименьшее значение следующей функции.

$$f(x)=\sqrt{15-12\cos x}+\sqrt{4-2\sqrt 3\sin x}+\sqrt{7-4\sqrt 3\sin x}+\sqrt{10-4\sqrt 3\sin x-6\cos x}$$

Вполне сойдёт для ЕГЭ.

[chessar]

6 при $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$ ?

[arqady]

Да! Но почему меньше не получится?

[TOTAL]

$$f(x)=\sqrt{15-12\cos x}+\sqrt{4-2\sqrt 3\sin x}+\sqrt{7-4\sqrt 3\sin x}+\sqrt{10-4\sqrt 3\sin x-6\cos x}$$

Здесь стоит сумма расстояний от какой-то точки на окружности $x^2 + y^2 =3$
до точек с координатами $(0; 2), \; (2\sqrt{3}; 0), \;(0; 1), \;(\sqrt{3}; 2)$

Точка плоскости, для которой эта сумма наименьшая, является точкой пересечения прямых $(0; 2), \; (2\sqrt{3}; 0)$ и $(0; 1), \;(\sqrt{3}; 2),$ которая случайно лежит на указанной окружности.

[arqady]

TOTAL, Вы это сделали!
Завершить, по-моему, лучше с помошью неравенства Минковского (неравенство треугольника).

[Markiyan Hirnyk]

Переходим от тригонометрии к полиномиальной алгебре и применяем Математику:

Minimize[{p + q + r + s,   15 - 12*cs == p^2 && 4 - 2*Sqrt[3]*sn == q^2 && 
   7 - 4*Sqrt[3]*sn == r^2 && 10 - 4*Sqrt[3]*sn - 6*cs == s^2 &&   p >= 0 && q >= 0 && r >= 0 && s >= 0 && cs^2 + sn^2 == 1}, {cs, sn,  p, q, r, s}]

{6, {cs -> 1/2, sn -> Sqrt[3]/2, p -> 3, q -> 1, r -> 1, s -> 1}}

Возможно, Математика использует условия Каруша-Куна-Таккера.

[Ende]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1621473 писал(а):

Переходим от тригонометрии к полиномиальной алгебре и применяем Математику:

Очередное применение матпакета к олимпиадной/учебной задаче. Предыдущий бан за то же нарушение был двухнедельным. Теперь будет месяц.