Borel set

[Snow1]

The intersection of every sequence of open subsets of $\mathbf R$ is a Borel set. However, the set of all such intersections is not the set of Borel sets (because it is not closed under countable unions).

Как это проверить?

[EminentVictorians]

Snow1 в сообщении #1621446 писал(а):

The intersection of every sequence of open subsets of $\mathbf R$ is a Borel set.

Счетное пересечение открытых множеств - это даже $G$-дельта множество, а оно в свою очередь уже точно борелевское.

Snow1 в сообщении #1621446 писал(а):

However, the set of all such intersections is not the set of Borel sets (because it is not closed under countable unions).

Здесь, насколько я понял, утверждается, что совокупность всех $G$-дельта множеств не является борелевской сигма алгеброй, т.к. оно не замкнуто относительно счетных объединений. На самом деле, оно даже просто сигма алгеброй не является. Хрестоматийный пример - множество рациональных чисел $\mathbb Q$ представляется в виде счетного объединения $G$-дельта множеств (просто точек), но само не является $G$-дельта множеством.

[Snow1]

EminentVictorians в сообщении #1621453 писал(а):

Счетное пересечение открытых множеств - это даже $G$-дельта множество, а оно в свою очередь уже точно борелевское.

Это понятно, мой вопрос относился ко второму предложению.

EminentVictorians в сообщении #1621453 писал(а):

Хрестоматийный пример - множество рациональных чисел $\mathbb Q$ представляется в виде счетного объединения $G$-дельта множеств (просто точек), но само не является $G$-дельта множеством.

За это спасибо, попозже попробую проверить это утверждение.