( 0/0 )*0 - неопределенность или нет?

[reformator]

Я понимаю, что $\frac{0}{0}$ - неопределенность и знаю почему. Но можно ли сказать, что $\frac{0}{0}\cdot 0=0$?

Предположим, что $\frac{0}{0}=x$, тогда $x$ - число, являющееся решением уравнения $0\cdot x=0$. Таким образом $x$ - любое число.
Но вот можно ли с уверенность говорить, что $x$ - конечное число. Мне почему-то кажется, что да, но все же сомнения небольшие есть. Почему $x$ конечное число? Если предположить обратное, то тогда $0\cdot x$ было бы неопределенностью $0\cdot \infty$ скорее всего.

Уверен, что в рассуждениях есть неточности, особенно в последнем тезисе.

[mihaild]

Неточности есть уже в первом предложении, $\frac{0}{0}$ - не математический объект, и тем более не число, его ни на что умножать нельзя. Словосочетание "неопределенность вида $\frac{0}{0}$" - просто описание записи.

(Оффтоп)

Вообще ИМХО если бы из курсов анализа убрали все эти "виды неопределенностей", то стало бы лучше. В строгих формулировках же всё равно без них обходятся".

[reformator]

mihaild в сообщении #1621336 писал(а):

Неточности есть уже в первом предложении, $\frac{0}{0}$ - не математический объект, и тем более не число, его ни на что умножать нельзя. Словосочетание "неопределенность вида $\frac{0}{0}$" - просто описание записи.

Но Савватеев, вроде как профессор, говорит здесь на 3:02 https://www.youtube.com/watch?v=9kdFzwZf78A&t=182s, что ноль на ноль вполне себе делится. Или он ошибся или я что-то не так понимаю=)

[mihaild]

reformator в сообщении #1621338 писал(а):

ноль на ноль вполне себе делится

То, что $0$ делится на $0$, не означает, что можно писать $\frac{0}{0}$.

[wrest]

reformator в сообщении #1621338 писал(а):

Или он ошибся или я что-то не так понимаю=)

Чтобы это узнать, нужно чтобы вы выписали определения нуля, операции деления, значения записи в виде дроюи, операции умножения, значение записи (точки) и так далее, и потом сделали утверждение, в котором фигурируют ранее определенные понятия. Тогда будет ясно, понимаете вы Савватеева или нет...

[Лукомор]

reformator в сообщении #1621335 писал(а):

Но можно ли сказать, что $\frac{0}{0}\cdot 0=0$?

Можно найти, чему равен $Y$ "решив" уравнение:
$x\cdot 0 = Y$
Здесь $x$ - корень уравнения
$0\cdot{x}=0$
Тогда $x$ - "любое число".
А $Y$ - "любое число, умноженное на ноль.".
Таким образом,$Y=0$.

[worm2]

Если интерпретировать все три нуля, как это принято в анализе при "раскрытии неопределённостей", а именно:
как функции одной переменной, определённые в окрестности некоторой точки и имеющие пределы (при стремлении переменной к этой точке), равные 0.
То ответ на вопрос в заголовке положительный: да, это всё ещё неопределённость, для различных конкретных функций (удовлетворяющих вышеописанной интерпретации) предел выражения (при стремлении переменной к нашей точке) может принимать любые значения.

Если интерпретировать как-то по-другому, можно получить другие ответы. Например:
если первые два нуля (в числителе и знаменателе) интерпретировать, как выше,
но третий ноль (на который дробь умножается) — как функцию, тождественно равную нулю (по крайней мере, в окрестности интересующей нас точки).
То ответ отрицательный: неопределённость раскрывается, предел выражения = 0.

[reformator]

Лукомор в сообщении #1621343 писал(а):

Можно найти, чему равен $Y$ "решив" уравнение:
$x\cdot 0 = Y$
Здесь $x$ - корень уравнения
$0\cdot{x}=0$
Тогда $x$ - "любое число".
А $Y$ - "любое число, умноженное на ноль.".
Таким образом,$Y=0$.

Если не ошибаюсь, то в стартпосте я написал тоже самое=) Спасибо. То есть все-таки не такой уж однозначный вопрос)

-- 07.12.2023, 15:26 --

worm2 в сообщении #1621345 писал(а):

Если интерпретировать как-то по-другому, можно получить другие ответы. Например:
если первые два нуля (в числителе и знаменателе) интерпретировать, как выше,
но третий ноль (на который дробь умножается) — как функцию, тождественно равную нулю (по крайней мере, в окрестности интересующей нас точки).
То ответ отрицательный: неопределённость раскрывается, предел выражения = 0.

Понял. То есть результат или 0 или неопределенность - смотря как договориться об определениях и что значит ноль=)

[realeugene]

reformator в сообщении #1621335 писал(а):

Я понимаю, что $\frac{0}{0}$ - неопределенность и знаю почему.

А вот сформулируйте сами, пожалуйста, что именно это означает.

[reformator]

realeugene в сообщении #1621349 писал(а):

А вот сформулируйте сами, пожалуйста, что именно это означает.

Предположим, что $\frac{0}{0}=x$, тогда $x$ - число, являющееся решением уравнения $0\cdot x=0$. Таким образом $x$ - любое число.

[realeugene]

reformator в сообщении #1621350 писал(а):

Предположим, что $\frac{0}{0}=x$, тогда $x$ - число, являющееся решением уравнения $0\cdot x=0$. Таким образом $x$ - любое число.

Нет. Как и предполагалось.

Освежите определение из учебника матанализа. Если вы его уже изучали, конечно.

[Лукомор]

reformator в сообщении #1621348 писал(а):

Спасибо.

Если что, там в моем сообщении смайлик не зря ...

[reformator]

realeugene в сообщении #1621351 писал(а):

Нет. Как и предполагалось.

Я просто поверил профессору Савватееву. Его определение использовал. А что сформулировать-то нужно было? Что такое неопределенность или что такое частное двух чисел?)

-- 07.12.2023, 16:06 --

Лукомор в сообщении #1621352 писал(а):

Если что, там в моем сообщении смайлик не зря ...

Получается там был сарказм?

[mihaild]

reformator в сообщении #1621353 писал(а):

Его определение использовал

У него определение делимости, а не деления. Записи $\frac 00$ у него нет.

reformator в сообщении #1621353 писал(а):

А что сформулировать-то нужно было? Что такое неопределенность

Да, вот это для начала.

[reformator]

mihaild в сообщении #1621356 писал(а):

Да, вот это для начала.

Я вижу два варианта.

1) Под неопределенностью вида $\frac{0}{0}$ понимается отношение двух бесконечно малых величин
2) Под неопределенностью вида $\frac{0}{0}$ понимается отношение двух чисел $0$ и $0$.

1) В первом случае я понимаю, что $\frac{0}{0}\cdot 0$ - тоже неопределенность. И могу легко привести примеры. $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\cdot x$, $h(x)=\dfrac{\sin x}{x^9}\cdot x$, $g(x)=\dfrac{x}{\sin^2 x}\cdot x$. Все три функции имеют разные пределы при $x\to 0$.

2) Вот эта неопределенность с "чистыми" нулями мне интересна. Где не бесконечно малые величины, а именно нули. Вот в такой ситуации уже мне почему-то кажется, что получается ноль. Но это не точно)