интегралы частных производных

[pra1rekht]

здравствуйте! я самостоятельно изучаю матанализ. я дошёл до формулы Грина, и у меня возник вопрос по поводу интегралов частных производных. исходя из доказательства (изучал доказательство по лекциям Бутузова, канал teach-in; https://youtu.be/RiCs0YNGHPM?si=d3Tsm9k-JSdcm7pe 16:00)

$$\int \frac{\partial P}{\partial x}(x,y) \ dx = P(x,y) $$

но при подстановке, например:

$$ P(x,y) = x^2 + y^2$$

$$\frac{\partial P}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial x} = 2x$$

$$\int \frac{\partial P}{\partial x}(x,y) \ dx =\int 2x \ dx = x^2 + C$$

и в итоге

$$P(x,y) = x^2 + y^2 \not = x^2$$

и что-то не сходится...

по логике вещей:

$$\int \frac{\partial P}{\partial y}(x,y) \ dx = \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\int dx= \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)(x + C)$$

подставляя ту же самую

$$P(x,y) = x^2 + y^2$$

получаем:

$$\frac{\partial P}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial y} = 2y$$

$$\int \frac{\partial P}{\partial y}(x,y) \ dx = \int 2y dx = \ 2y \int dx = 2y (x + C)$$

что и предрекалось.

пожалуй, я буду верить первой указанной мною формуле, но меня очень интересует её доказательство и момент, где мои выкладки оказались неверны. а ещё мне интересна какая-то более-менее наглядная интерпретация интеграла частной производной. и просто для уточнения: как вообще дифференцировать и интегрировать функции нескольких переменных? надеюсь на вашу помощь :) спасибочки!!!

[Dedekind]

pra1rekht в сообщении #1621326 писал(а):

$$\int \frac{\partial P}{\partial x}(x,y) \ dx =\int 2x \ dx = x^2 + C$$

Вот тут, поскольку интегрирование проводилось по $x$, то "константа", вообще говоря, может быть произвольной функцией $y$. Поэтому правильно писать

$$\int \frac{\partial P}{\partial x}(x,y) \ dx =\int 2x \ dx = x^2 + C(y)$$

И в данном случае $C(y)=y^2$

[pra1rekht]

Dedekind в сообщении #1621328 писал(а):

И в данном случае $C(y)=y^2$

то есть вообще нужно подставлять $C(y)$ такое, что оно равно разности начальной функции и интеграла без учёта константы интегрирования?

-- 07.12.2023, 15:04 --

pra1rekht в сообщении #1621326 писал(а):

$$\int \frac{\partial P}{\partial y}(x,y) \ dx = \int 2y dx = \ 2y \int dx = 2y (x + C)$$

должна ли тут в конце быть $C(y)$? и чему она должна быть равна?

[Dedekind]

pra1rekht в сообщении #1621329 писал(а):

то есть вообще нужно подставлять $C(y)$ такое, что оно равно разности начальной функции и интеграла без учёта константы интегрирования?

Ну, можно и так сказать. Неопределенный интеграл - это первообразная. Первообразная от производной, по определению - сама функция (плюс константа). Константа интегрирования никуда не девается, конечно. Просто видео было про определенный интеграл, поэтому я посчитал ее равной нулю. В общем случае нужно было бы написать так:

$$C(y) = y^2 + A$$

где $A$ - уже настоящая константа.

pra1rekht в сообщении #1621329 писал(а):

должна ли тут в конце быть $C(y)$? и чему она должна быть равна?

Должна. Опять же, может быть равна любой функции от $y$.