Сколько углов в полукруге?

[Leeb]

Mihr в сообщении #1621024 писал(а):

Leeb в сообщении #1621022 писал(а):

Ответ $\pi/2$.

Разве не единица?

Нет, вычитаем синус из единицы, получаем $\int_{0}^{\pi/2} 1-\cos^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)dx$. Складываем как сумму трех интегралов, второй равен третьему, т.к. синус на отрезке от $0$ до $\pi/2$ тождестыенно равен косинусу на $-\pi/2$ до 0, но в силу четности косинуса в квадрате имеем и равенство подыинтегральных функций, а знаки там разные, так что сумма двух интегралов косинусов даст 0. В итоге имеем интеграл от единицы по отрезку, он равен длине.

-- 05.12.2023, 12:32 --

waxtep в сообщении #1621025 писал(а):

Leeb в сообщении #1621022 писал(а):

содержит слишком специфичную технику (замена переменной в интеграле, пусть и замена - сдвиг)

Типа, рассмотреть интеграл от этого же выражения в пределах от $\dfrac{\pi}2$ до $\pi$ и убедиться в его равенстве исходному?

Я через сумму синусов и косинусов квадратов делал.

Combat Zone
Да, поэтому я и говорю - задание требует нешкольную технику, пусть и "простую", но технику, и при этом вообще не требует ничего иного. Нет ни малейшей идеи, пусть и простой, даже думать не надо, просто писать.

[Combat Zone]

Я понимаю, что можно всяко, конечно. Но. Делаем замену (тот самый сдвиг) в одном слагаемом, к примеру, втором. Получаем основное тригонометрическое тождество с аргументом $\sin x$. Пи пополам итого.

-- 05.12.2023, 11:38 --

Leeb в сообщении #1621022 писал(а):

Ничего олимпиадного, интересного или поучительного для школьников

Зря вы, прикольная задача. По одной причине - выглядит она очень страшно, а решается тривиально. Народ за такие не берется обычно по психологическим причинам - среднестатистический народ. Тем более, если интеграл нарисовать.

-- 05.12.2023, 11:47 --

Leeb в сообщении #1621027 писал(а):

Да, поэтому я и говорю - задание требует нешкольную технику, пусть и "простую", но технику, и при этом вообще не требует ничего иного. Нет ни малейшей идеи, пусть и простой, даже думать не надо, просто писать.

Ну почему, мне писать не понадобилось, она устная. Правда, я не школьник.
Однако же не всегда дело в идее. Иногда нужно и "увидеть". Для региональной олимпиады вполне нормально, думаю.
Впрочем, все вкусовщина, и вкусовщина организаторов-составителей.

[waxtep]

Я так с этим поборолся:
$\displaystyle I_1=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left (\sin^2{(\sin{x})}+\cos^2{(\cos{x})}\right )dx$
$\displaystyle I_2=\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left (\sin^2{(\sin{x})}+\cos^2{(\cos{x})}\right )dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left (\sin^2{(\cos{x})}+\cos^2{(\sin{x})}\right )dx$
$\displaystyle I_1+I_2=\pi,I_1=I_2\Rightarrow{I_1}=\frac{\pi}{2}$

[Gagarin1968]

Leeb в сообщении #1621027 писал(а):

Складываем как сумму трех интегралов, второй равен третьему, т.к. синус на отрезке от $0$ до $\pi/2$ тождестыенно равен косинусу на $-\pi/2$ до 0, но в силу четности косинуса в квадрате имеем и равенство подыинтегральных функций, а знаки там разные, так что сумма двух интегралов косинусов даст 0. В итоге имеем интеграл от единицы по отрезку, он равен длине.

Совершенно верно. Именно так и решило большинство участников на той олимпиаде.
По большому счёту, тут кроме формулы приведения и основного тригонометрического тождества и знать-то ничего не надо.

[EUgeneUS]

Возвращаясь к обсуждаемой задаче.
Насколько мне известно

1. Задача была вот в этой олимпиаде: https://ntcontest.ru/
В одном из отборочных туров для школьников в этом году.
2. В формулировки задачи таки был чертеж и на чертеже был отмечен центр окружности.

Насколько пониманию позицию уважаемого Mihr, ежели центр окружности отмечен, то развернутый угол нужно считать за угол. Итого - 1 угол.

Но всё равно, считаю эту "задачу" скорее загадкой. Которая не должна появляться в наборе задач, от которых что-то зависит. И вот по каким причинам:

1. В задачах не может быть ответов, которые изменяются на противоположные из-за получения новых знаний.
А в этой задаче есть. Это углы между окружностью и диаметром. Пока пользуемся школьным определением угла - они вроде как за углы не считаются. Но как только появляется определение угла между кривыми - они становятся углами.

2. Отметка точки на диаметре (центра окружности) не должна приводить к увеличению количества углов в фигуре. Пусть есть треугольник $ABC$ вписанный в окружность, который опирается на диаметр $AC$. Отметим на диаметре $AC$ центр окружности $O$.
И что, треугольник $ABC$ от этого действия превратился в четырехугольник $ABCO$?

[Combat Zone]

EUgeneUS в сообщении #1621241 писал(а):

1. Задача была вот в этой олимпиаде: https://ntcontest.ru/
В одном из отборочных туров для школьников в этом году.

Поиски задачи на сайте успехом не увенчались (хотя информация о прошедшем отборочном туре есть). Это, конечно, ничего не значит, может не успели разместить - что было бы крайне странно, учитывая степень поддержки олимпиады. Однако, задания за прошлые годы, даже отборочные этапы, абсолютно вменяемы. Так что хотелось бы видеть первоисточник.

[EUgeneUS]

Combat Zone в сообщении #1621307 писал(а):

Поиски задачи на сайте успехом не увенчались

У меня тоже. Что впрочем неудивительно - задачи за этот год еще не выложили.

Но согласен, в общий уровень этой олимпиады как-то не вписывается такая "угадайка"