Что за пространства H(+-1/2)

[Svetlana]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с пространствами H_{(1/2)}, H_{(-1/2)}. Для чего они используются и как для них определена норма?

[shwedka]

В какой книжке эти пространства встретились? Или в связи с какой задачей? Какая книжка используется/есть по этому предмету?

[Svetlana]

Встретились в "Inverse Problems for Partial Differential Equations" V.Isakov. Там написано, что решение дифф. уравнения принадлежитH_1^2в области, а на границе решение u, \nabla uизH_{(1/2)}^2, H_{(-1/2)}^2.

[shwedka]

$H^s(R^d)$ состоит из распеределений $u(x)$ таких, что $\hat{u}(\xi)(1+|\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\in L_2$
$\hat{u}(\xi)$ преобразование Фурье. Если s целое неотрицательное число, то , эквивалентно, это пространство функций, которые имеют производные порядка вплоть до s в $L_2$.
Для таких s последнее определение годится и для ограниченной области. Для отрицательных s это пространство распределений (обобщенных функций.) Применяются в 200000 вопросах ур. ч. п.
Что Вас касается это, так называемые теоремы о следах. Функция из $H^s$ в области имеет осмысленные граничные значения на границе, которые принадлежат там $H^{s-\frac12}$.
Последние пространства, на поверхности, задаются с помощью локализации. Возьмите разбиение единицы $\phi_n$ на поверхности, и $u(x)$ принадлежит $H^{s-\frac12}$ на границе если все $u(x)\phi_n$ принадлежат $H^{s-\frac12}$ в локальных координатах.
Пространства Соболева связаны с другими пространствами, скажем, $L_p, C^{\alpha}$ многочисленными 'теоремами вложения, следа и продолжения.
Очень короткое и понятное изложение этого материала есть в лекциях Аграновича
http://www.agranovich.nm.ru/NEZAV7.HTM

[Svetlana]

Спасибо большое за разъяснения и за ссылку, буду изучать.