Разложить дробь на сумму простейших

[Arkadij]

Разложить дробь
$\frac{1}{(x^n-1)^2}$
на сумму простейших дробей над полем комплексных чисел.

Понятно, что
$ \frac{1}{(x^n-1)^2}=\frac{A_0}{x-\varepsilon_0}+\frac{B_0}{(x-\varepsilon_0)^2}+\ldots+\frac{A_{n-1}}{x-\varepsilon_{n-1}}+\frac{B_{n-1}}{(x-\varepsilon_{n-1})^2}, $
где $\varepsilon_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}$.

Имеем
$ 1=A_0(x-\varepsilon_0)(x-\varepsilon_1)^2\ldots(x-\varepsilon_{n-1})^2+B_0(x-\varepsilon_1)^2\ldots(x-\varepsilon_{n-1})^2+\ldots +A_{n-1}(x-\varepsilon_0)^2(x-\varepsilon_1)^2\ldots(x-\varepsilon_{n-1})+B_{n-1}(x-\varepsilon_0)^2(x-\varepsilon_1)^2\ldots(x-\varepsilon_{n-2})^2 $

Положив $x=\varepsilon_k$, находим
$B_k=\frac{1}{(\varepsilon_k-\varepsilon_0)^2\ldots(\varepsilon_k-\varepsilon_{k-1})^2(\varepsilon_k-\varepsilon_{k+1})^2\ldots(\varepsilon_k-\varepsilon_{n-1})^2}$
Что дальше? Не понятно, можно ли упростить $B_k$ и как найти $A_k$.

[Null]

Для простоты домножите только на $(x- \varepsilon_k)^2$ и подставьте $x=\varepsilon_k$, потом возьмите производную от обоих частей и снова подставьте $x=\varepsilon_k$.
Чтобы посчитать $(\varepsilon_k-\varepsilon_0)\ldots(\varepsilon_k-\varepsilon_{k-1})(\varepsilon_k-\varepsilon_{k+1})\ldots(\varepsilon_k-\varepsilon_{n-1})$ можно взять разложение $x^n-1$ на множители, продифференциировать и подставить $x=\varepsilon_k$

[Arkadij]

Спасибо

[adfg]

Arkadij в сообщении #1620839 писал(а):

Разложить дробь
$\frac{1}{(x^n-1)^2}$
на сумму простейших дробей над полем комплексных чисел.

Понятно, что
$ \frac{1}{(x^n-1)^2}=\frac{A_0}{x-\varepsilon_0}+\frac{B_0}{(x-\varepsilon_0)^2}+\ldots+\frac{A_{n-1}}{x-\varepsilon_{n-1}}+\frac{B_{n-1}}{(x-\varepsilon_{n-1})^2}, $
где $\varepsilon_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}$.

Имеем
$ 1=A_0(x-\varepsilon_0)(x-\varepsilon_1)^2\ldots(x-\varepsilon_{n-1})^2+B_0(x-\varepsilon_1)^2\ldots(x-\varepsilon_{n-1})^2+\ldots +A_{n-1}(x-\varepsilon_0)^2(x-\varepsilon_1)^2\ldots(x-\varepsilon_{n-1})+B_{n-1}(x-\varepsilon_0)^2(x-\varepsilon_1)^2\ldots(x-\varepsilon_{n-2})^2 $

Положив $x=\varepsilon_k$, находим
$B_k=\frac{1}{(\varepsilon_k-\varepsilon_0)^2\ldots(\varepsilon_k-\varepsilon_{k-1})^2(\varepsilon_k-\varepsilon_{k+1})^2\ldots(\varepsilon_k-\varepsilon_{n-1})^2}$
Что дальше? Не понятно, можно ли упростить $B_k$ и как найти $A_k$.

Обозначим
$h(x) = x^n-1$
$g(x) = (x^n-1)^2$

Чтобы упростить $B_k$, разложим $g(x)$ в произведение по своим корням, получим:
$B_k = \frac{2}{g''(\varepsilon_k)} = \frac{\varepsilon_k^2}{n^2}$

Чтобы найти $A_k$, продифференцируем выражение из цитаты выше. Получим:
$A_k = -2B_k(\frac{1}{\varepsilon_k-\varepsilon_0} + \frac{1}{\varepsilon_k-\varepsilon_1} + \ldots + \frac{1}{\varepsilon_k-\varepsilon_n}) = -2B_k\frac{h''(\varepsilon_k)}{2h'(\varepsilon_k)} = -\frac{\varepsilon_k^2}{n^2}\frac{n(n-1)\varepsilon_k}{n\varepsilon_k^2} = -\frac{n-1}{n^2}\varepsilon_k$

[Arkadij]

Понятно. Спасибо!