Конструкция числа

[rightways]

Докажите или опровергните следующее утверждение:

Для любого натурального $n$ существует число без нулей $N$, такое, что сумма цифр $S(N)=n$ и $N$ делиться на $n$.

[Утундрий]

Запишем $n$ в $(n+1)$-ичной системе счисления.

[TOTAL]

На $n=11$ не разделится.

[rightways]

А верно ли хотя бы для всех $n>2022 ?$

А есть контрпример для какого то нечетного и четного $n>2023$

[gris]

Наверное, надо искать пример для нечётных $n$, так как для любых $n$ кратных $10$ любое число кратное $n$ будет заканчиваться на $0$

[Yadryara]

gris в сообщении #1620733 писал(а):

Наверное, надо искать пример для нечётных $n$, так как для любых $n$ кратных $10$ любое число кратное $n$ будет заканчиваться на $0$

Ну так это в десятичной СС. А какие возражения на предложение Утундрий ? То, что символы для записи рано или поздно закончатся ?

[gris]

кстати, вдруг кому на новогоднем корпоративе КТЧ пригодится :
2024 умножаем на 14 получаем 28336. пишем 92 раза подряд 283362833628336...28336. на 2024 делится. Сумма цифр 2024.
ПРИЗ В СТУДИЮ

[Dendr]

Вообще, если не стоит задача найти наименьшее $N(n)$, то можно использовать алгоритм, хотя он такой... эмпирический, вроде годится для всех $n$, кроме "очевидных" исключений.

Возьмем для примера число не очень большое, $n=17$. Если взять перебором, то уже в пределах первой тысячи найдутся $476, 629, 782, 935$. А мне лень, буду искать $N=\overline{17ab...}$ сумма цифр числа $\overline{ab...}$ равна девяти. И оно делится на $17$. Но тогда оно делится на $9\cdot17=153$. Но сумма цифр уже та, которая нужна. Значит $N=17153$ - годится.

Посложнее? $n=55$ (наименьшее значение здесь $N=61979995$, первое восьмизначное в списке наименьших $N$)
Пишем $n=\overline{55abc...}$, и $\overline{abc...}$ делится как на $55$, так и на $9$, то есть $495$, а сумма цифр равна $45$. Можно либо "выделить" еще раз $495$, или наудачу рассмотреть $11...1\cdot495$. Успех уже при пяти единицах, число $555499945$ делится на $55$, и сумма цифр - тоже $55$.

Вышеописанное "выделение" срабатывает для, например, $47$: нам нужно собрать число, делящееся на $9\cdot47=423$ и суммой цифр $36$. Таким образом, годится $47423423423423$.

Но алгоритм хромает, если $n$ содержит нули. Тогда начинать надо с числа, кратного $n$ и без нулей, и такого, чтобы логика для следующего шага сохранялась. Например, для $n=101$ наберем сумму цифр "первого блока" не $2$, а $20$, взяв $N=\overline{5555abc...}$. Теперь останется поискать число $\overline{abc...}$, которое делится на $909$, с суммой цифр $81$. Лучше сразу записать $9999$ в начале, тогда сумма должна быть $45$. Приходится угадывать, выбирая наобум числа вида $909k$, тут мне повезло: $N(101)=5555999971797365$.