Неподвижная точка слабо сжимающего отображения.

[seraphimt]

Добрый день. Подскажите, пожалуйста с такой задачей:
Есть компактное метрическое пространство и отображение $f: X \to X$, такое что $\rho(f(x),f(y)) < \rho(x,y), \forall x,y \in X, x \ne y$. И нужно доказать, что существует единственная неподвижная точка этого отображения.

Очень долго думал над этой задачей. Сперва попробовал модифицировать доказательство про неподвижную точку сжимающего отображения, но не вышло тк мы не знаем насколько меньше, в отличии от сжимающего, может быть так, что для одних точек коэффициент 0, 999999, а для других 0,00001 и тд.
Нашел 2 стратегии доказательства в итоге: либо как-то свести к сжимающему отображению, либо показать, что $g(x)=\rho(x, f(x))$ достигает минимума и он равен нулю. Если бы $g(x)$ была непрерывной, то на компакте достигала минимума. Но она явна не непрерывна тк образ точки может лежать где угодно. Потом вспомнил, что компактное равносильно полному и вполне ограниченному и значит $\rho$ - ограниченная и есть максимальное расстояние, если я правильно понял. Но как с этим докрутить до непрерывности не додумался.
По первому пути, в одной из прошлый задач было, что если $f^{on}$ сжимающе, то и у $f$ единственная неподвижная точка. Тогда $\rho(x, y) > \rho(f(x),f(y)) > \rho(f(f(x)), f(f(y)))$ и значит $\rho(x, y)q \geqslant \rho(f(f(x)), f(f(y)))$, где $q<1$. Но для каждой пары оно будет своё, не получается сжимающее.

В книгах особо ничего не нашёл, ну или плохо искал. В интернетах наткнулся на такое утверждение, но почему "зазор" и как это можно применить - не понял:

(Оффтоп)

[Null]

seraphimt в сообщении #1620677 писал(а):

Но она явна не непрерывна тк образ точки может лежать где угодно.

По-моему, $g(x)$ непрерывна.

[seraphimt]

Null в сообщении #1620680 писал(а):

По-моему, $g(x)$ непрерывна.

Я прикинул так: если мы возьмём $y$ из некоторого шарика с центром в $x$, то $g(x)$ и $g(y)$ могут отличатся весьма сильно от $x$ и $y$. Т.е образы $x$ и $y$ будут лежать ближе друг другу, но относительно самих $x, y$ никак не связаны.
Попытался изобразить:

(Оффтоп)

[svv]

seraphimt в сообщении #1620677 писал(а):

Но она явна не непрерывна тк образ точки может лежать где угодно.

А какая связь? Для непрерывности нужно же, чтобы близкие прообразы имели близкие образы. А образ от прообраза может быть и далеко (центральная симметрия, например).

[Null]

seraphimt в сообщении #1620688 писал(а):

Попытался изобразить:

Ну вот: расстояние между $x$ и $f(x)$ примерно равно расстоянию между $y$ и $f(y)$

[мат-ламер]

Не хочу отвлекать топик-стартера от выбранного пути. Но на всякий случай выложу альтернативный подход к решению. Отображение $f$ у нас непрерывно. Образуем последовательность по правилу $x^{n+1}=f(x^n)$ . Выберем из неё сходящуюся к точке $y^* \in X$ подпоследовательность $y^n$. Тогда будет выполняться $f(y^*)=y^*$ .

[Null]

мат-ламер в сообщении #1620707 писал(а):

Тогда будет выполняться $f(y^*)=y^*$ .

$x^{n}=(-1)^n(1+\frac{1}{n})$

[мат-ламер]

Извините. Написал ерунду. У меня не задействована слабо сжимаемость. А без этого теорема неверна.

-- Сб дек 02, 2023 13:19:30 --

Null
Уже сам догадался, не видя вашего сообщения.

-- Сб дек 02, 2023 13:35:30 --

Для того, чтобы решить сложную проблему, надо разбить её на части. Функцию $g$ можно представить как композицию трёх функций. Непрерывность каждой из них очевидна.

-- Сб дек 02, 2023 13:37:55 --

seraphimt в сообщении #1620677 писал(а):

либо показать, что $g(x)=\rho(x, f(x))$ достигает минимума и он равен нулю.

После того, как докажем, что минимум достигается, равенство его нулю уже легко доказывается от противного.

[seraphimt]

Спасибо, да, что-то я затупил с непрерывностью
Вроде получилось, если ничего не напутал.

Берём $y$ из эпсилон шарика в центре с $x$. Тогда:
$\rho(f(x),f(y)) < \rho(x,y) < \epsilon$
По неравенству треугольника:
$\rho(x, f(x)) \leqslant \rho(x, f(y))+ \rho(f(y), f(x)) \leqslant \rho(x, y) +\rho(y, f(y)) + \rho(f(y), f(x)) < \rho(y,f(y))+2\epsilon $
Отсюда $\rho(x, f(x)) - \rho(y,f(y)) <2\epsilon$
Аналогично, если рассмотреть неравенство треугольника для $(y,f(y))$, получится, что $\rho(y, f(y)) - \rho(x,f(x)) <2\epsilon$
Значит
$|g(x)-g(y)|<2\epsilon$

Значит $g(x)$ - непрерывная и значит минимум у неё достигается, пусть при некотором $x_0$. Пусть он не равен 0, тогда $g(f(x_0))=\rho(f(x_0),f(f(x_0))) < \rho(x_0, f(x_0))$, противоречие.

Пусть такая точка не единственна. Тогда:
$\rho(x_1, x_2) > \rho(f(x_1), f(x_2)) = \rho(x_1, x_2) $, противоречие.