математическая физика, плотность множества основных функций

[ZarinaM]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Появился вопрос при прочтении "Уравнения математической физики" Владимиров.
На 129 стр. утверждается (лемма), что для любой основной функции $\varphi\in \mathscr{D}(R^{n+m}) $ существует последовательность основных функций $ \varphi_k (x,y)$ вида $v_k(x)u_k(y), \ u_l \in \mathscr{D}(R^n), v_l\in \mathscr{D}(R^m)$, сходящаяся к $\varphi$.

Доказательство начинается с предположения, что носитель $\varphi (x,y)$ находится в замкнутом шаре радиуса $R$.
Затем ссылаемся на теорему Вейерштрасса: что $\exists$ полиномы $P_k(x,y)$ т.ч. $|D^\alpha f-D^\alpha P_k|<1/k$ при всех $|\alpha|\leq k$ и $|x|^2+|y|^2\leq 8R^2$.

Мне не ясно, из каких теоретических соображений берется оценка суммы модулей числом $(2R)^2+(2R)^2=8R^2$. Почему не $R^2+R^2=2R^2$?

Заранее спасибо за ответ.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[mihaild]

А в издании какого года? В нагугленном 1981, на странице 129 рассматриваются функции вида $\sum\limits_{k=1}^N v_k(x) \cdot u_k(y)$, это важное отличие (такая формулировка верна, а Ваша - нет).

ZarinaM в сообщении #1620076 писал(а):

Почему не $R^2+R^2=2R^2$?

Потому что нам после умножения на пробные функции $e$ и $h$ нужно отслеживать поведение на шаре радиуса $2R$.

(если что-то еще непонятно - процитируйте больший контекст, какую именно оценку хочется заменить на какую, в текущем виде понять вопрос, не заглядывая в книгу, невозможно)

[ZarinaM]

mihaild

Да, там действительно сумма должна быть, это моя ошибка.

mihaild в сообщении #1620079 писал(а):

на странице 129 рассматриваются функции вида $\sum\limits_{k=1}^N v_k(x) \cdot u_k(y)$

Получается мы сами задаем такую оценку? И после этого вводим подходящие под нее $e$ и $h$?

[mihaild]

Там кстати при ссылке на лемму 1 из $\mathsection 5.2$ потерялось важное свойство: что $|e| \leqslant 1$ (и $h$ тоже) - без этого не получится.
Идея следующая: мы приближаем нашу функцию полиномами в шаре радиуса $2R$. Поскольку функция нулевая вне шара $R$, то полиномы в слое от $R$ до $2R$ маленькие. Но вне шара радиуса $2R$ у нас никаких гарантий на полиномы нет.
Теперь домножаем полином на наше $e(x) \cdot h(y)$. Имеем: в шаре радиуса $R$ домножение ни на что не повлияло, так что там произведение всё еще хорошо приближает функцию. В слое от $R$ до $2R$ полиномы уже были маленькие, а домножили мы на что-то, не превосходящее единицы, так что в нём произведение тоже хорошо приближает функцию. Вне шара радиуса $2R$ полиномы может быть и большие, но это неважно, потому что второй сомножитель нулевой, и соответственно вне этого шара произведение вообще равно функции.
Насколько именно отступать от границы - неважно, важно на сколько-то. Потому что если совсем не отступать, то может оказаться, что полиномы очень большие совсем рядом с границей, и второй сомножитель там тоже еще не слишком маленький.

[ZarinaM]

mihaild

Стало намного понятнее, спасибо большое!