Распределение долей объема при росте размерности

[A-u-uuu]

Как-то читал статью, что при увеличении количества измерений, все большая часть объема шара, концентрируется в центре. В отличие, от например, куба.
Не смог найти.
Может, кто-то помнит, или разбирается в этом вопросе ?
Начиналось там, вроде с упаковки окружностей в окружность, потом сфер в сферы и т.д. В итоге, границы гиперсфер в упаковке начинали вылезать за границы объемлющей сферы. Возможно, путаю.
С кубами, наблюдалось обратное, бОльшие части объемов, толи стремились к углам, толи равномерно размазывались.
Помогите найти статью, хотя там было всего пару абзацев на тему.
Еще лучше, если есть специалисты, расскажите подробней по сабжу.

[Dedekind]

Возможно, что-то в этом роде.
https://www.youtube.com/watch?v=zwAD6dRSVyI

[Vince Diesel]

Это называется принцип концентрации меры. Изложение с нуля есть у Зорича в книге “Математический анализ задач естествознания”.

[мат-ламер]

A-u-uuu в сообщении #1619933 писал(а):

Как-то читал статью, что при увеличении количества измерений, все большая часть объема шара, концентрируется в центре. ...
Может, кто-то помнит, или разбирается в этом вопросе ?

Допустим у нас есть шар радиуса $R$ в $n$-мерном пространстве. Интуиция подсказывает, что его объём можно вычислить по формуле $V=kR^n$ , где константа $k$ зависит от размерности.

Если эта формула кажется вам очевидной, то дальше можно отталкиваться от неё. В противном случае можно заняться её обоснованием. И в некоторых учебниках анализа она действительно выводится путём перехода к многомерным сферическим координатам. И коэффициенты $k$ вычисляются через гамма-функцию.

[mihaild]

A-u-uuu в сообщении #1619933 писал(а):

при увеличении количества измерений, все большая часть объема шара, концентрируется в центре

Вроде же наоборот? $V_n = c_n r^n$, соответственно доля объёма в центральной части это $(1 - \varepsilon)^n$, что при фиксированном $\varepsilon$ стремится к нулю с ростом $n$.

[Евгений Машеров]

A-u-uuu в сообщении #1619933 писал(а):

Как-то читал статью, что при увеличении количества измерений, все большая часть объема шара, концентрируется в центре. В отличие, от например, куба.

Очень странное утверждение. Объём n-мерного шара радиусом R есть $V_n(R)=a(n)R^n$, где $a(n)$ - зависящий от размерности коэффициент. Для определённости назовём "центральной частью" шар с тем же центром, но радиусом $R/m$, объём которого $v_n(R)=a(n)(R/m)^n$ и отношение $\frac {v_n(R)}{V_n(R)}=m^{-n}$ с ростом n падает. Так, для $m=10$ "центральная часть" при $n=2$ составит сотую, при $n=3$ составит тысячную, при $n=4$ составит десятитысячную долю и т.д.

[A-u-uuu]

Действительно, все меньшая часть объема...
Игры памяти. Благодарю.