Здравствуйте. Прошу помочь мне в решении задач по теории групп и полей.
Пусть

- фиксированное простое число.
Задание 1. Назовем подгруппу

конечной группы G крутой,
если она может быть соединена с

нормальной башней подгрупп индекса

:

,
где

- нормальная подгруппа индекса p в

для

.
1) Докажите, что пересечение двух крутых подгрупп в

само по себе крутое.
2) Докажите, что существует крутая подгруппа

, которая лежит во всех крутых подгруппах

. Докажите, что

нормальна в

.
3) Докажите, что любая подгруппа в

, которая содержит крутую подгруппу в

, является крутой сама по себе.
Задание 2. Назовем расширение поля

крутым, если оно может быть разложено в конечную башню расширений Галуа степени

:

,
где

- расширение Галуа степени

для разных i=

.
1) Докажите, что любое расширение Галуа полей степени

является крутым.
2) Докажите, что для любого среднего поля

крутого расширения полей

, расширение

является также крутым.
Первый вопрос.
1) Рассмотрим две крутые подгруппы

и

. Пусть их нормальные башни таковы:

,
и пусть для определенности

. Рассмотрим тогда следующую цепочку:

.
На любом шаге подгруппы будут нормальными друг в друге.

потому что если мы рассмотрим произведение

, где

,

, тогда

как произведение трех элелементов из

, а также

, потому что

. Или же можно
рассмотреть гомоморфизм вложений

для любого

. То есть этот гомоморфизм применяется на каждом шагу цепи. Известно, что гомоморфизмы сохраняют нормальность, цикличность, абелевость, так что если исходная башня была нормальной, то и ее прообраз при гоморфизме также будет нормальным. Непонятно, как быть с индексами- сохраняются ли они при гомоморфизмах?!
Попробуем посмотреть на порядок группы G.

- что дальше, непонятно. По одной из теорем про изоморфизм групп известно, что

, возможно, этот факт будет как-то полезен.
2) Поскольку общая группа

конечная, по условию нашей задачи, то крутых подгрупп (как, в общем-то, и любых других) будет конечное количество. Построим N как пересечение всех крутых подгрупп G. По предыдущему пункту мы знаем, что пересечение двух любых крутых подгрупп- крутое, это утверждение можно обобщить по принципу индукции на любое конечное число крутых подгрупп, так что любое конечное пересечение крутых подгрупп- крутое само по себе, поэтому N- крутая подгруппа и в то же самое время содержится одновременно во всех крутых подгруппах G. Как показать нормальность N в G- не знаю.
3)-???
Второй вопрос.
1) Пусть есть расширение Галуа

степени

, то есть
![$[L:F]=p^{n}$ $[L:F]=p^{n}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d104c946c84428660592e5797c7ee8982.png)
. Поскольку это расширение Галуа, то оно нормально и сепарабельно, другими словами, по определению, из нормальности следует, что поле L является полем разложения для какой-то семьи многочленов F[x]. Из сепарабельности вытекает, что любой

сепарабельный над

, то есть у неприводимого многочлена

нет кратных корней над алгебраическим замыканием

. Также

для каких-то несепарабельных альф

. Как построить конечную цепочку расширений Галуа, как ее придумать?
2)-???