Башни групп и полей 2

[Ilya Shchigorets]

Здравствуйте. Прошу помочь мне в решении задач по теории групп и полей.

Пусть $p$- фиксированное простое число.

Задание 1. Назовем подгруппу $H$ конечной группы G крутой,
если она может быть соединена с $G$ нормальной башней подгрупп индекса $p$: $G=G^{0} \supset G^{1} \supset ... \supset G^{n} = H$,
где $G^{i}$- нормальная подгруппа индекса p в $G^{i-1}$ для $i=1 \ldots n$.

1) Докажите, что пересечение двух крутых подгрупп в $G$ само по себе крутое.

2) Докажите, что существует крутая подгруппа $N\subset G$, которая лежит во всех крутых подгруппах $G$. Докажите, что $N$ нормальна в $G$.

3) Докажите, что любая подгруппа в $G$, которая содержит крутую подгруппу в $G$, является крутой сама по себе.

Задание 2. Назовем расширение поля $L/F$ крутым, если оно может быть разложено в конечную башню расширений Галуа степени $p$:
$F=L_{0}\subset L_{1}\subset ...\subset L_{n}=L$,
где $L_{i}/L_{i-1}$- расширение Галуа степени $p$ для разных i=$1,\ldots,n$.

1) Докажите, что любое расширение Галуа полей степени $p^{n}$ является крутым.

2) Докажите, что для любого среднего поля $K$ крутого расширения полей $L/F$, расширение $K/F$ является также крутым.

Первый вопрос.
1) Рассмотрим две крутые подгруппы $H$ и $K$. Пусть их нормальные башни таковы:
$G=G^{0} \supset H^{1} \supset ... \supset H^{n} = H$,
$G=G^{0} \supset K^{1} \supset ... \supset K^{m} = K$
и пусть для определенности $n\geq m$. Рассмотрим тогда следующую цепочку:
$K=G\bigcap K=G^{0} \bigcap K \supset H^{1} \bigcap K \supset ... \supset H^{n}\bigcap K = H \bigcap K$.
На любом шаге подгруппы будут нормальными друг в друге. $H^{i+1} \bigcap K \vartriangleright H^{i} \bigcap K$ потому что если мы рассмотрим произведение $aba^{-1}$, где $a \in H^{i+1} \bigcap K$, $b \in H^{i} \bigcap K$, тогда $aba^{-1} \in K$ как произведение трех элелементов из $K$, а также $aba^{-1} \in H^{i+1}$, потому что $H^{i+1} \triangleright H^{i}$. Или же можно
рассмотреть гомоморфизм вложений $H^{i}\bigcap K \hookrightarrow H^{i}$ для любого $1\leqslant i \leqslant n$. То есть этот гомоморфизм применяется на каждом шагу цепи. Известно, что гомоморфизмы сохраняют нормальность, цикличность, абелевость, так что если исходная башня была нормальной, то и ее прообраз при гоморфизме также будет нормальным. Непонятно, как быть с индексами- сохраняются ли они при гомоморфизмах?!
Попробуем посмотреть на порядок группы G. $|G|=|G_{0}|=|G_{0}/H^{1}||H^{1}|=p|H^{1}|=...=p^{n}|H^{n}|=p^{n}|H|=p^{n}|H/ (H\bigcap K)||H \bigcap K|$- что дальше, непонятно. По одной из теорем про изоморфизм групп известно, что $H/(H \bigcap K)\simeq KH/K$, возможно, этот факт будет как-то полезен.

2) Поскольку общая группа $G$ конечная, по условию нашей задачи, то крутых подгрупп (как, в общем-то, и любых других) будет конечное количество. Построим N как пересечение всех крутых подгрупп G. По предыдущему пункту мы знаем, что пересечение двух любых крутых подгрупп- крутое, это утверждение можно обобщить по принципу индукции на любое конечное число крутых подгрупп, так что любое конечное пересечение крутых подгрупп- крутое само по себе, поэтому N- крутая подгруппа и в то же самое время содержится одновременно во всех крутых подгруппах G. Как показать нормальность N в G- не знаю.

3)-???

Второй вопрос.
1) Пусть есть расширение Галуа $L/F$ степени $p^{n}$, то есть $[L:F]=p^{n}$. Поскольку это расширение Галуа, то оно нормально и сепарабельно, другими словами, по определению, из нормальности следует, что поле L является полем разложения для какой-то семьи многочленов F[x]. Из сепарабельности вытекает, что любой $\alpha \in L$ сепарабельный над $F$, то есть у неприводимого многочлена $(Irr_{F} \alpha)$ нет кратных корней над алгебраическим замыканием $\bar{F}$. Также $L=F(\alpha_{1},...,\alpha_{n})$ для каких-то несепарабельных альф $\in E$. Как построить конечную цепочку расширений Галуа, как ее придумать?
2)-???

[Ende]

Ilya Shchigorets
Вообще говоря, нужно было исправить тему в Карантине, а не создавать дубль. Но это ладно. Укажите, пожалуйста, источник задачи. С какой она олимпиады, где эта олимпиада проходит?

[Ilya Shchigorets]

Это задачи из листка, который давали на факультативе по алгебре в университете. Предлагались ли они раннее на каких-то олимпиадах или же эти задачи взяты из каких-то сборников -- мне неизвестно. Вот полный список задачи:

Задание 1. Постройте изоморфизм между алгебрами $\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)$ и $\mathfrak{so}(3)$.

Задание 2. Докажите, что нильпотентная алгебра всегда является разрешимой. Покажите, что обратное не всегда справедливо: приведите контрпример разрешимой алгебры, которая нильпотентной не является.

Задание 3. Пусть $\mathfrak{g}$- алгебра Ли, $\mathfrak{g'}=[\mathfrak{g};\mathfrak{g}]=\mathfrak{g}^{2}$- ее производная.
Положим также $\operatorname{ad}: \operatorname{ad}\rightarrow \mathfrak{gl}(V)$- присоединенный гомоморфизм, где для любых $x$, $y$ $\in \mathfrak{g}: \operatorname{ad}_{x}(y):=[x,y]$, который, в том числе, можно задать матрицей.

а) Покажите, что если $x \in \mathfrak{g'}$, то $\operatorname{tr}(\operatorname{ad}_{x})=0$.

б) $\operatorname{ad}_{x}$ на самом деле являются также дифференцированиями алгебры Ли $\mathfrak{g}$, которые называются внутренними (обозначают $\int(\mathfrak{g})$). Покажите, что $\int(\mathfrak{g})$ является идеалом в алгебре дифференцирований $Der(\mathfrak{g})$.


Далее пусть $p$- фиксированное простое число.

Задание 4. Назовем подгруппу $H$ конечной группы G крутой,
если она может быть соединена с $G$ нормальной башней подгрупп индекса $p$: $G=G^{0} \supset G^{1} \supset ... \supset G^{n} = H$,
где $G^{i}$- нормальная подгруппа индекса p в $G^{i-1}$ для i=$1,\ldots,n$.

а) Докажите, что пересечение двух крутых подгрупп в $G$ само по себе крутое.

б) Докажите, что существует крутая подгруппа $N\subset G$, которая лежит во всех крутых подгруппах $G$. Докажите, что $N$ нормальна в $G$.

в) Докажите, что любая подгруппа в $G$, которая содержит крутую подгруппу в $G$, является крутой сама по себе.

Задание 5. Назовем расширение поля $L/F$ крутым, если оно может быть разложено в конечную башню расширений Галуа степени $p$:
$F=L_{0}\subset L_{1}\subset ...\subset L_{n}=L$,
где $L_{i}/L_{i-1}$- расширение Галуа степени $p$ для разных i=$1,\ldots,n$.

а) Докажите, что любое расширение Галуа полей степени $p^{n}$ является крутым.

б) Докажите, что для любого среднего поля $K$ крутого расширения полей $L/F$, расширение $K/F$ является также крутым.

Задание №4 я таки осилил. Очень прошу помочь с заданием №5. Спасибо

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: в профильный раздел.