GL(r, F2) Порядок группы матриц из 0 и 1.

[Jilian]

Никак не могу решить задачу.
Сколько сеществует матриц порядка r из 0 и 1 с ненулевым определителем.
Ясно, что всего матриц порядка r из 0 и 1 будет ( 2 в степени r*r). Но загвоздка в том, чтоб определитель был единичным!!!

[Ignat]

Что такое невырожденная nxn матрица с коэффициентами из поля F_2? Это матрица обратимого оператора V --> V, где V -- n-мерное пространство над полем F_2. Каждый такой оператор однозначно задаётся образом стандартного базиса под его действием. При этом в качестве образа первого вектора базиса (первый столбец матрицы) может быть выбран произвольный ненулевой элемент V -- всего (2^n - 1) возможностей для выбора. В качестве образа второго вектора базиса (второй столбец матрицы) может быть выбран любой элемент, не принадлежащий линейной оболочке первого, то есть, любой элемент пространства V, лежащий вне подпространства размерности 1. Таких векторов (2^n - 2). В качестве третьего столбца мы можем взять любой элемент пространства V, лежащий вне двумерного подпространства, натянутого на первые два вектора, то есть, имеем (2^n - 2^2) вариантов выбора. Продолжая рассуждения вплоть до n-го столбца, мы получим для последнего столбца (2^n - 2^(n-1)) вариантов.
Перемножая, получаем: |GL(n,F2)| = (2^n-1)(2^n-2)...(2^n-2^(n-1)).

[Гость]

Ignat писал(а):

Что такое невырожденная nxn матрица с коэффициентами из поля F_2? Это матрица обратимого оператора V --> V, где V -- n-мерное пространство над полем F_2. Каждый такой оператор однозначно задаётся образом стандартного базиса под его действием. При этом в качестве образа первого вектора базиса (первый столбец матрицы) может быть выбран произвольный ненулевой элемент V -- всего (2^n - 1) возможностей для выбора. В качестве образа второго вектора базиса (второй столбец матрицы) может быть выбран любой элемент, не принадлежащий линейной оболочке первого, то есть, любой элемент пространства V, лежащий вне подпространства размерности 1. Таких векторов (2^n - 2). В качестве третьего столбца мы можем взять любой элемент пространства V, лежащий вне двумерного подпространства, натянутого на первые два вектора, то есть, имеем (2^n - 2^2) вариантов выбора. Продолжая рассуждения вплоть до n-го столбца, мы получим для последнего столбца (2^n - 2^(n-1)) вариантов.
Перемножая, получаем: |GL(n,F2)| = (2^n-1)(2^n-2)...(2^n-2^(n-1)).

Полученное значение равно числу матриц, имеющих нечетный определитель А требуется вычислить количество матриц, имеющих ненулевой определитель.
[/quote]

[Dan_Te]

Цитата:

Полученное значение равно числу матриц, имеющих нечетный определитель

???
Разве?

[Jilian]

Ignat писал(а):

Что такое невырожденная nxn матрица с коэффициентами из поля F_2? Это матрица обратимого оператора V --> V, где V -- n-мерное пространство над полем F_2. Каждый такой оператор однозначно задаётся образом стандартного базиса под его действием. При этом в качестве образа первого вектора базиса (первый столбец матрицы) может быть выбран произвольный ненулевой элемент V -- всего (2^n - 1) возможностей для выбора. В качестве образа второго вектора базиса (второй столбец матрицы) может быть выбран любой элемент, не принадлежащий линейной оболочке первого, то есть, любой элемент пространства V, лежащий вне подпространства размерности 1. Таких векторов (2^n - 2). В качестве третьего столбца мы можем взять любой элемент пространства V, лежащий вне двумерного подпространства, натянутого на первые два вектора, то есть, имеем (2^n - 2^2) вариантов выбора. Продолжая рассуждения вплоть до n-го столбца, мы получим для последнего столбца (2^n - 2^(n-1)) вариантов.
Перемножая, получаем: |GL(n,F2)| = (2^n-1)(2^n-2)...(2^n-2^(n-1)).

Мы стоим матрицу по столбцам, а где гарантия того, что строив линейно независимыс столбцы мы получим линейнонезависимые строки???

[Dan_Te]

Ну так это же как бы азбука линейной алгебры! Ранг матрицы по столбцам и по строкам одинаковый, детерминант ненулевой <=> все столбцы линейно независимы <=> все строки линейно независимы.

[Гость]

Dan_Te писал(а):

Цитата:

Полученное значение равно числу матриц, имеющих нечетный определитель

???
Разве?

Получим количество матриц, состоящих из нулей и единиц, имеющих определитель 1 по модулю 2. Например, при n=3,
среди таких матриц нет матрицы, имеющей определитель 2, ибо 2 по модулю 2 равно 0. А нужно найти все матрицы, состоящие из 0 и 1 и имеющие ненулевой определитель.
Ignat привел неверное решение.
Если же речь шла о матрицах с определителем 1, то это решение также не проходит, ибо матрица с определителем -1 будет иметь ненулевой по модулю 2 определитель.
Равные 1 по модулю 2 числа -- это в точности нечетные числа.

[[e-mail]]

Anonymous писал(а):

Dan_Te писал(а):

Цитата:

Полученное значение равно числу матриц, имеющих нечетный определитель

???
Разве?

Получим количество матриц, состоящих из нулей и единиц, имеющих определитель 1 по модулю 2. Например, при n=3,
среди таких матриц нет матрицы, имеющей определитель 2, ибо 2 по модулю 2 равно 0. А нужно найти все матрицы, состоящие из 0 и 1 и имеющие ненулевой определитель.
Ignat привел неверное решение.
Если же речь шла о матрицах с определителем 1, то это решение также не проходит, ибо матрица с определителем -1 будет иметь ненулевой по модулю 2 определитель.
Равные 1 по модулю 2 числа -- это в точности нечетные числа.

По моему решение Ignat абсолютно верное!
Не стоит забывать что det(A):GL_n(Z_p)-->Z, для A є GL_n(Z_p) а не в Z_p
Итак общая формула: |GL_n(Z_p)|=(p^n-1)*(P^n-p)*...*(p^1-1)
Если же имелись ввиду матрицы с определителем 1 тоесть вида
|1*.......*|
|01*.....*|
|..........|
|0......01|
то тут тоже понятно как считать:
всего (n^2-n)/2=n*(n-1)/2 позицый и p возможностей
Тоесть получаем |UT_n(Z_p)|=p^[n*(n-1)/2]

http://www.mechmat.univ.kiev.ua/

[[e-mail]]

Кстате отсюда интересный факт:
UT_n(Z_p) - силовская p-подгрупа GL_n(Z_p)

[Trueman]

[/quote]
По моему решение Ignat абсолютно верное!
Не стоит забывать что det(A):GL_n(Z_p)-->Z, для A є GL_n(Z_p) а не в Z_p
Итак общая формула: |GL_n(Z_p)|=(p^n-1)*(P^n-p)*...*(p^1-1)
Если же имелись ввиду матрицы с определителем 1 тоесть вида
|1*.......*|
|01*.....*|
|..........|
|0......01|
то тут тоже понятно как считать:
всего (n^2-n)/2=n*(n-1)/2 позицый и p возможностей
Тоесть получаем |UT_n(Z_p)|=p^[n*(n-1)/2]

[/quote]

Решении Ignat к сожалению неверно и учитывает только матрицы с нечётным определителем, а что касается того, что число матриц с единичным определителем будет равно p^[n*(n-1)/2], то если я правильно понимаю, для матриц размера два на два, элементы которых из поля Z_2, получим что p=2, n=2, таикм образом таких матриц с единичным определителем будет 2^(2*1/2)=2, что очевидно неверно.