2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Цепочки тождеств для чисел Бернулли
Сообщение18.11.2023, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1865
Москва
Берем произвольное $m$ и составляем тождество ($B_i$ - число Бернулли):
$$B_0\binom{m-1}{0}\binom{m}{m-1}=m\cdot \binom{m-1}{0}$$

Теперь начинаем расщеплять его в цепочку тождеств:
$$B_1\binom{m-1}{1}\binom{m}{m-1}-B_0\binom{m-2}{0}\binom{m}{m-2}=-m\cdot\binom{m-1}{1}$$
$$B_2\binom{m-1}{2}\binom{m}{m-1}-B_1\binom{m-2}{1}\binom{m}{m-2}+B_0\binom{m-3}{0}\binom{m}{m-3}=m\cdot\binom{m-1}{2}$$

$$B_3\binom{m-1}{3}\binom{m}{m-1}-B_2\binom{m-2}{2}\binom{m}{m-2}+B_1\binom{m-3}{1}\binom{m}{m-3}-B_0\binom{m-4}{0}\binom{m}{m-4}=-m\binom{m-1}{3}$$

В общем виде для любого натурального $m$ и $k=0,1,\ldots, m-1$ имеем:

$$\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i}\cdot B_i\cdot\binom{m+i-k-1}{i}\cdot\binom{m}{m+i-k-1}=(-1)^{k}\cdot m\cdot\binom{m-1}{k}$$

Эта формула получена индуктивными рассуждениями, но как ее доказать, не вижу. Может кто-то сталкивался (уже известно, легко выводимо), или это что-то простое и я туплю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочки тождеств для чисел Бернулли
Сообщение19.11.2023, 03:54 
Заслуженный участник


16/02/13
4060
Владивосток
Ну, вот так, навскидку, не вспоминая, что есть числа Бернулли, начало есть, осталось обобщить вашу подстановку на $k$, провернуть и свести тождество для $k$ к тождеству для $k+1$ — и всё, теорема доказана по принципу математической индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочки тождеств для чисел Бернулли
Сообщение19.11.2023, 05:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1865
Москва
Ага, осталось выразить k+1 случай через k. Вы знаете как?

Про числа Бернулли https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%A7% ... 0%BB%D0%B8

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочки тождеств для чисел Бернулли
Сообщение19.11.2023, 15:03 
Заслуженный участник


16/02/13
4060
Владивосток
Ну, как-то вот так:
$$\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i}\cdot B_i\cdot\binom{m+i-k-1}{i}\cdot\binom{m}{m+i-k-1}=(-1)^{k}\cdot m\cdot\binom{m-1}{k}$$
$$\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i}\cdot B_i\cdot\binom{m+i-k-1}{i}\cdot\binom{m}{m+i-k-1}=$$
$$\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^{k-i}\cdot B_i\cdot\binom{m+i-k-1}{i}\cdot\binom{m}{m+i-k-1}+B_k\cdot\binom{m-1}{k}\cdot\binom{m}{m-1}=$$
$$\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^{k-i}\cdot B_i\cdot\binom{m+i-k-1}{i}\cdot\binom{m}{m+i-k-1}+\binom{m-1}{k}\cdot\binom{m}{m-1}\frac{-1}{k+1}\sum_{i=0}^{k-1}\binom{k+1}{i+2}B_{k-i-1}=$$
$$\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^{k-i}\cdot B_i\cdot\binom{m+i-k-1}{i}\cdot\binom{m}{m+i-k-1}+\binom{m-1}{k}\cdot\binom{m}{m-1}\frac{-1}{k+1}\sum_{i=0}^{k-1}\binom{k+1}{k-i+1}B_{i}=$$
$$\sum_{i=0}^{k-1} B_i\left(\binom{m-1}{k}\cdot\binom{m}{m-1}\frac{-1}{k+1}\binom{k+1}{k-i+1}+(-1)^{k-i}\cdot\binom{m+i-k-1}{i}\cdot\binom{m}{m+i-k-1}\right)=$$
$$\sum_{i=0}^{k-1} B_i\left(\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}\cdot m\frac{-1}{k+1}\frac{(k+1)!}{(k-i+1)!i!}+(-1)^{k-i}\cdot\frac{(m+i-k-1)!}{i!(m-k-1)!}\cdot\frac{m!}{(m+i-k-1)!(k+1-i)!}\right)=$$
$$\sum_{i=0}^{k-1} B_i\left(\frac{(m)!}{k!(m-k-1)!}\cdot\frac{-1}{k+1}\frac{(k+1)!}{(k-i+1)!i!}+(-1)^{k-i}\cdot\frac{1}{i!(m-k-1)!}\cdot\frac{m!}{(k+1-i)!}\right)=$$
$$\sum_{i=0}^{k-1} B_i\left(-\frac{m!}{(m-k-1)!}\cdot\frac{1}{(k-i+1)!i!}+(-1)^{k-i}\cdot\frac{1}{i!(m-k-1)!}\cdot\frac{m!}{(k+1-i)!}\right)=$$
$$\sum_{i=0}^{k-1} B_i\frac{m!}{(m-k-1)!(k-i+1)!i!}\left(-1+(-1)^{k-i}\right)=$$
$$\sum_{i=0}^{k-1} B_i\frac{m!}{(m+i-k-1)!(k+1-i)!}\frac{(m+i-k-1)!}{i!(m+k-1)!}\left(-1+(-1)^{k-i}\right)=$$
$$\sum_{i=0}^{k-1} B_i\binom m{m+i-k-1}\binom{m+i-k-1}{i}\left(-1+(-1)^{k-i}\right)$$
Вот что дальше, пока не знаю. Похоже, как-то преобразовывать с учётом равенства нулю нечётных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочки тождеств для чисел Бернулли
Сообщение19.11.2023, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1865
Москва
iifat
Спасибо за интерес к теме. На самом деле нужно просто использовать свойства многочленов Бернулли.

$$\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i}\cdot B_i\cdot\frac{(m+i-k-1)!}{i!(m-k-1)!}\cdot\frac{m!}{(m+i-k-1)!(k+1-i)!}=(-1)^{k}\cdot m\cdot\frac{(m-1)!}{k!(m-1-k)!}$$
$$\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}B_i\frac{m\cdot k!}{i!(k+1-i)!}=(-1)^km$$
$$\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}B_i\frac{m\cdot (k+1)!}{(k+1)i!(k+1-i)!}=\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}B_i\frac{m}{(k+1)}\cdot \binom{k+1}{i}=(-1)^km$$
$$\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}B_i\binom{k+1}{i}=(-1)^k(k+1) \eqno{(1)}$$
Рассмотрим многочлены Бернулли
$$B_k(x)=\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}B_{k-j}x^j$$
Известно, что
$$B_k(x+1)-B_k(x)=kx^{k-1}$$
Значит
$$B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)=(k+1)x^k$$
Возьмем $x=-1$:
$$B_{k+1}(0)-B_{k+1}(-1)=(-1)^{k}(k+1)$$
$$\binom{k+1}{0}B_{k+1}-\sum_{j=0}^{k+1} \binom{k+1}{j}B_{k+1-j}(-1)^j=(-1)^{k}(k+1)$$
$$\sum_{j=1}^{k+1}(-1)^{j+1}B_{k+1-j}\binom{k+1}{j}=(-1)^k(k+1)\eqno{(2)}$$
Наконец, если в равенстве (2) положить $j=k+1-i$, получим равенство (1).

Это решение предложили на https://mathoverflow.net/questions/4587 ... li-numbers
Я его здесь лишь подробно расписал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочки тождеств для чисел Бернулли
Сообщение20.11.2023, 06:14 
Заслуженный участник


16/02/13
4060
Владивосток
Красиво ;)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group