Цепочки тождеств для чисел Бернулли

[juna]

Берем произвольное $m$ и составляем тождество ($B_i$ - число Бернулли):

$$B_0\binom{m-1}{0}\binom{m}{m-1}=m\cdot \binom{m-1}{0}$$

Теперь начинаем расщеплять его в цепочку тождеств:

$$B_1\binom{m-1}{1}\binom{m}{m-1}-B_0\binom{m-2}{0}\binom{m}{m-2}=-m\cdot\binom{m-1}{1}$$

$$B_2\binom{m-1}{2}\binom{m}{m-1}-B_1\binom{m-2}{1}\binom{m}{m-2}+B_0\binom{m-3}{0}\binom{m}{m-3}=m\cdot\binom{m-1}{2}$$

$$B_3\binom{m-1}{3}\binom{m}{m-1}-B_2\binom{m-2}{2}\binom{m}{m-2}+B_1\binom{m-3}{1}\binom{m}{m-3}-B_0\binom{m-4}{0}\binom{m}{m-4}=-m\binom{m-1}{3}$$

В общем виде для любого натурального $m$ и $k=0,1,\ldots, m-1$ имеем:

$$\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i}\cdot B_i\cdot\binom{m+i-k-1}{i}\cdot\binom{m}{m+i-k-1}=(-1)^{k}\cdot m\cdot\binom{m-1}{k}$$

Эта формула получена индуктивными рассуждениями, но как ее доказать, не вижу. Может кто-то сталкивался (уже известно, легко выводимо), или это что-то простое и я туплю...

[iifat]

Ну, вот так, навскидку, не вспоминая, что есть числа Бернулли, начало есть, осталось обобщить вашу подстановку на $k$, провернуть и свести тождество для $k$ к тождеству для $k+1$ — и всё, теорема доказана по принципу математической индукции.

[juna]

Ага, осталось выразить k+1 случай через k. Вы знаете как?

Про числа Бернулли https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%A7% ... 0%BB%D0%B8

[iifat]

Ну, как-то вот так:

$$\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i}\cdot B_i\cdot\binom{m+i-k-1}{i}\cdot\binom{m}{m+i-k-1}=(-1)^{k}\cdot m\cdot\binom{m-1}{k}$$

$$\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i}\cdot B_i\cdot\binom{m+i-k-1}{i}\cdot\binom{m}{m+i-k-1}=$$

$$\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^{k-i}\cdot B_i\cdot\binom{m+i-k-1}{i}\cdot\binom{m}{m+i-k-1}+B_k\cdot\binom{m-1}{k}\cdot\binom{m}{m-1}=$$

$$\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^{k-i}\cdot B_i\cdot\binom{m+i-k-1}{i}\cdot\binom{m}{m+i-k-1}+\binom{m-1}{k}\cdot\binom{m}{m-1}\frac{-1}{k+1}\sum_{i=0}^{k-1}\binom{k+1}{i+2}B_{k-i-1}=$$

$$\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^{k-i}\cdot B_i\cdot\binom{m+i-k-1}{i}\cdot\binom{m}{m+i-k-1}+\binom{m-1}{k}\cdot\binom{m}{m-1}\frac{-1}{k+1}\sum_{i=0}^{k-1}\binom{k+1}{k-i+1}B_{i}=$$

$$\sum_{i=0}^{k-1} B_i\left(\binom{m-1}{k}\cdot\binom{m}{m-1}\frac{-1}{k+1}\binom{k+1}{k-i+1}+(-1)^{k-i}\cdot\binom{m+i-k-1}{i}\cdot\binom{m}{m+i-k-1}\right)=$$

$$\sum_{i=0}^{k-1} B_i\left(\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}\cdot m\frac{-1}{k+1}\frac{(k+1)!}{(k-i+1)!i!}+(-1)^{k-i}\cdot\frac{(m+i-k-1)!}{i!(m-k-1)!}\cdot\frac{m!}{(m+i-k-1)!(k+1-i)!}\right)=$$

$$\sum_{i=0}^{k-1} B_i\left(\frac{(m)!}{k!(m-k-1)!}\cdot\frac{-1}{k+1}\frac{(k+1)!}{(k-i+1)!i!}+(-1)^{k-i}\cdot\frac{1}{i!(m-k-1)!}\cdot\frac{m!}{(k+1-i)!}\right)=$$

$$\sum_{i=0}^{k-1} B_i\left(-\frac{m!}{(m-k-1)!}\cdot\frac{1}{(k-i+1)!i!}+(-1)^{k-i}\cdot\frac{1}{i!(m-k-1)!}\cdot\frac{m!}{(k+1-i)!}\right)=$$

$$\sum_{i=0}^{k-1} B_i\frac{m!}{(m-k-1)!(k-i+1)!i!}\left(-1+(-1)^{k-i}\right)=$$

$$\sum_{i=0}^{k-1} B_i\frac{m!}{(m+i-k-1)!(k+1-i)!}\frac{(m+i-k-1)!}{i!(m+k-1)!}\left(-1+(-1)^{k-i}\right)=$$

$$\sum_{i=0}^{k-1} B_i\binom m{m+i-k-1}\binom{m+i-k-1}{i}\left(-1+(-1)^{k-i}\right)$$

Вот что дальше, пока не знаю. Похоже, как-то преобразовывать с учётом равенства нулю нечётных.

[juna]

iifat
Спасибо за интерес к теме. На самом деле нужно просто использовать свойства многочленов Бернулли.

$$\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i}\cdot B_i\cdot\frac{(m+i-k-1)!}{i!(m-k-1)!}\cdot\frac{m!}{(m+i-k-1)!(k+1-i)!}=(-1)^{k}\cdot m\cdot\frac{(m-1)!}{k!(m-1-k)!}$$

$$\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}B_i\frac{m\cdot k!}{i!(k+1-i)!}=(-1)^km$$

$$\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}B_i\frac{m\cdot (k+1)!}{(k+1)i!(k+1-i)!}=\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}B_i\frac{m}{(k+1)}\cdot \binom{k+1}{i}=(-1)^km$$

$$\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}B_i\binom{k+1}{i}=(-1)^k(k+1) \eqno{(1)}$$

Рассмотрим многочлены Бернулли

$$B_k(x)=\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}B_{k-j}x^j$$

Известно, что

$$B_k(x+1)-B_k(x)=kx^{k-1}$$

Значит

$$B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)=(k+1)x^k$$

Возьмем $x=-1$:

$$B_{k+1}(0)-B_{k+1}(-1)=(-1)^{k}(k+1)$$

$$\binom{k+1}{0}B_{k+1}-\sum_{j=0}^{k+1} \binom{k+1}{j}B_{k+1-j}(-1)^j=(-1)^{k}(k+1)$$

$$\sum_{j=1}^{k+1}(-1)^{j+1}B_{k+1-j}\binom{k+1}{j}=(-1)^k(k+1)\eqno{(2)}$$

Наконец, если в равенстве (2) положить $j=k+1-i$, получим равенство (1).

Это решение предложили на https://mathoverflow.net/questions/4587 ... li-numbers
Я его здесь лишь подробно расписал.

[iifat]

Красиво ;)