Пусть

есть конечный алфавит,

его словарь и по совместительству свободный моноид с базисом

. Построим множество всех конечных сумм на его элементах с целыми коэффициентами
![$\mathbb{Z}[A^{\ast}]$ $\mathbb{Z}[A^{\ast}]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/c/36cd94a444aee444c694faa61114864e82.png)
.
Так вот, если А упорядочено, то этот порядок порождает порядок на словаре

, это лексический порядок. А можно ли продолжить и как-то задать порядок на
![$\mathbb{Z}[A^{\ast}]$ $\mathbb{Z}[A^{\ast}]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/c/36cd94a444aee444c694faa61114864e82.png)
?
Я предлагаю вот такие свойства -

Не без белых пятен, на пример что делать с пустым словом

?
У меня как-то полностью не получается, возникают непонятные ситуации, где нельзя точно сказать...
Мой лучший результат - это просто приводить суммы к полностью положительным слагаемым и смотреть - у кого самое лексически бОльшее слово.
То есть, как-бы, аналог меры Жордана? Когда множества сравниваются по максимальному элементу.
Вот типа так:

ибо

лексически больше всех справа.
Однако это работает если нет коэффициентов отличных от 1. Я не знаю, как быть с иными суммами.
Только что появилась идея, что можно порядок на словах брать за главного, а в остальных случаях сравнивать просто множители, они же целые числа. Но тут получается какая-то "сингулярность" :
если

тогда они должны удовлетворять условию

напоминает бесконечно-малые разных порядков, или инфинитезимали из нестандартного анализа(не уверен, ибо мало читал о нём).
Ну и так как это кольцо, наверное, конкатенация слов дистрибутивна над сложением. Она не меняет лексический порядок слов(

тут префиксы выпадают, а тут

дополнительный суффикс не играет роли.)
Отсюда - конкатенация должна сохранять порядок и на элементах кольца, которое я рассматриваю:

так же и справа.
Если брать мой вариант типа Жордана, то последнее предложение сохраняет его, и всё хорошо. На счёт конкатенации

то там по дистрибутивности k можно выкинуть наперёд.
В итоге мне кажется, тут нужно добавить меру/метрику и по ней сравнивать, одного кольца и словаря - мало. Но тогда как-бы "истинного" порядка не будет.
В любом случае, мне даже хватит возможности сравнивать любую такую линейную комбинацию с нулём, - надо для другой задачи. Но тут можно сказать, что сумма заведомо "положительных" сумм будет очевидно положительной.
Так что даже без "полного" порядка можно как-то выкручиваться.