Пи-система и сигма-алгебра

[ihq.pl]

Padawan в сообщении #1617378 писал(а):

Нет. "Их дополнения" - это открытые множества

и что? Вы спросили, что такое $\alpha(\tau)$, где $\tau$ - замкнутые множества. Я ответил. Не вижу проблемы.

-- 11.11.2023, 11:46 --

Вероятно, проблема в том, что мы по-разному понимаем $\alpha(\tau)$. Для меня это наименьшая алгебра, содержащая $\tau$.

[Padawan]

Ну так алгебра должна быть замкнута относительно конечных пересечений (а также конечных объединений и дополнения). А я Вам показал, что перечисленные Вами множества алгебру не образуют.

-- Сб ноя 11, 2023 12:51:36 --

ihq.pl в сообщении #1617377 писал(а):

Всё $\Omega$,

Все $\mathbb R$ , Вы хотели сказать, вероятно.

[ihq.pl]

Padawan в сообщении #1617381 писал(а):

я Вам показал, что перечисленные Вами множества алгебру не образуют.

Ничего вы не показали. Сказали, что "дополнения" - открытые множества и всё. Что вас смущает в том, что в $\alpha(\tau)$ вместе с множествами из $\tau$ содержатся также их дополнения?

[Padawan]

ihq.pl в сообщении #1617377 писал(а):

Всё $\Omega$, пустое множество, конечные суммы непересекающихся множеств из $\tau$ и их дополнения.

Короче, это неправильно. Такой набор множеств алгебру не образует. Почему -- думайте сами.

[ihq.pl]

Padawan в сообщении #1617384 писал(а):

Короче, это неправильно

Железный аргумент

[ihq.pl]

Padawan
Система множеств M = $\{\mathbb{R}, A\}$, где $A$ конечные суммы непересекающихся отрезков, становится алгеброй, если к ней добавить множества $A/B, A,B\in M$.

-- 11.11.2023, 15:39 --

И сдается мне, что она будет минимальной алгеброй, содержащей отрезки.

[dgwuqtj]

ihq.pl в сообщении #1617410 писал(а):

Система множеств M = $\{\mathbb{R}, A\}$, где $A$ конечные суммы непересекающихся отрезков, становится алгеброй, если к ней добавить множества $A/B, A,B\in M$.

Эта "алгебра" содержит все интервалы, но не их дополнения.

[ihq.pl]

dgwuqtj
$\varnothing = \mathbb{R}\setminus\mathbb{R}, \bar{A} = \mathbb{R}\setminus A$
Вы это имеете в виду?

[dgwuqtj]

Я имею в виду множество вида $(-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$. Его дополнение является разностью отрезка и объединения двух отрезков, но оно само не представляется в виде разности $\mathbb R$ и объединения конечного набора отрезков.

[ihq.pl]

dgwuqtj
Тогда так: $\mathcal{A}$ состоит из множеств вида $A\setminus B, A\in M, B\in M, $ и их дополнений.

[dgwuqtj]

ihq.pl в сообщении #1617428 писал(а):

Тогда так: $\mathcal{A}$ состоит из множеств вида $A\setminus B, A\in M, B\in M, $ и их дополнений.

Это вроде действительно алгебра. Но ведь в общем случае всё равно надо что-то доказывать...

[ihq.pl]

dgwuqtj в сообщении #1617437 писал(а):

Это вроде действительно алгебра.

С пересечениями у меня всё получается, а с объединениями - нет:( Как доказать вот это $A,B,C,D\in M \Rightarrow (A\setminus B)\cup (C\setminus B) \in \mathcal{A}$ ?

[dgwuqtj]

Просто все элементы $\mathcal A$ - это конечные объединения промежутков и дополнения к таким множествам.

[ihq.pl]

dgwuqtj в сообщении #1617449 писал(а):

промежутков

Промежутки - это что?
Тут предлагается построить наименьшую алгебру, содержащую $\pi$-систему, и начасть с системы отрезков на $\mathbb{R}$.

[dgwuqtj]

Промежуток - это связное ограниченное подмножество $\mathbb R$, то есть точка, отрезок, интервал или полуинтервал.