Двойное отношение комплексных чисел. Учебник Кострикина.

[seraphimt]

Добрый день. Подскажите, пожалуйста, с таким вопросом: не понятен переход в учебнике Кострикина, том 1 стр 177.
В начале всё понятно: тк 3 точки не лежат на одной прямой, можем построить треугольник, а потом вписать его в окружность. Далее сдвинуть начало координат, не теряя общности, так чтобы центр этой окружности был началом координат. Отсюда и равенство модулей. Но потом откуда то берётся нижнее выражение. Не понятно и мотивировка, зачем его рассматривать вдруг, и почему оно "легко убедится" вещественное.

$(z_1-z_2)(z_3-z_4)(\overline{z_1}-\overline{z_4})(\overline{z_3}-\overline{z_2})-i(|z_3|^2-|z_4|^2) * Im(z_3\overline{z_2}-z_3\overline{z_1}-z_1\overline{z_2}) \in \mathbb R $

После этого уже всё понятно: $Im(z_3\overline{z_2}-z_3\overline{z_1}-z_1\overline{z_2}) \ne 0 $ следует из того, что 3 первые точки не лежат на одной прямой, значит нулю равна разность модулей$z_3$ и $z_4$, значит все 4 точки лежат на окружности.

(Оффтоп)

[мат-ламер]

(Оффтоп)

У меня нет сейчас времени вникать в детали вашего вопроса. Помню только, что популярное изложение этой темы я прочёл в каком-то учебнике комплексного анализа. Не то в Маркушевиче. Не то в Евграфове.

[dgwuqtj]

Обозначим $r = |z_1| = |z_2| = |z_3|$. Если раскрыть двойное отношение, то получится $ (z_1 \overline{z_3} - z_1 \overline{z_2} - z_2 \overline{z_3}) |z_4|^2 + r^2 (\overline{z_1} z_3 - \overline{z_2} z_3 - \overline{z_1} z_2) + r^4 + r^2 |z_4|^2 - r^2 (z_1 \overline{z_4} + \overline{z_1} z_4) - r^2 (\overline{z_3} z_4 + z_3 \overline{z_4}) + r^2 (\overline{z_2} z_4 + z_2 \overline{z_4}) + (z_1 \overline{z_2} z_3 \overline{z_4} + \overline{z_1} z_2 \overline{z_3} z_4)$. Если теперь заменить каждое из первых двух слагаемых $S$ на $\frac{S - \overline S}{2}$, то получится формула из книжки.

[seraphimt]

dgwuqtj в сообщении #1617397 писал(а):

Если теперь заменить каждое из первых двух слагаемых $S$ на $\frac{S - \overline S}{2i}$,

Не понял этот переход. $\frac{a+bi-a+bi}{2i} = b \ne S=a+bi$

[dgwuqtj]

Упс, $i$ в знаменателе была лишняя. Разница между $S$ и такой дробью будет вещественной. Это же просто избавление от вещественной части.

[seraphimt]

dgwuqtj
Честно, кучу времени убил, и не только я один, но так и не понял, о каких двух слагаемых идёт речь и мотивировку такой замены.

[dgwuqtj]

Вот в том большом выражении слагаемые
$ r^4 + r^2 |z_4|^2 - r^2 (z_1 \overline{z_4} + \overline{z_1} z_4) - r^2 (\overline{z_3} z_4 + z_3 \overline{z_4}) + r^2 (\overline{z_2} z_4 + z_2 \overline{z_4}) + (z_1 \overline{z_2} z_3 \overline{z_4} + \overline{z_1} z_2 \overline{z_3} z_4)$
являются вещественными. Остаются
$(z_1 \overline{z_3} - z_1 \overline{z_2} - z_2 \overline{z_3}) |z_4|^2$
и
$r^2 (\overline{z_1} z_3 - \overline{z_2} z_3 - \overline{z_1} z_2)$.
Можно выделить их вещественные части,
$\mathrm{Re}((z_1 \overline{z_3} - z_1 \overline{z_2} - z_2 \overline{z_3}) |z_4|^2) = \frac u 2 |z_4|^2$ и
$\mathrm{Re}(r^2 (\overline{z_1} z_3 - \overline{z_2} z_3 - \overline{z_1} z_2)) = r^2 \frac u 2$,
где $u = z_1 \overline{z_3} + \overline{z_1} z_3 - z_1 \overline{z_2} - \overline{z_1} z_2 - z_2 \overline{z_3} - \overline{z_2} z_3$. Вычитая эти вещественные части, получим чисто мнимое число
$\frac 1 2 (r^2 - |z_4|^2) (\overline{z_1} z_3 - z_1 \overline{z_3} - \overline{z_2} z_3 + z_2 \overline{z_3} - \overline{z_1} z_2 + z_1 \overline{z_2}) = i (|z_3|^2 - |z_4|^2) \mathrm{Im}(z_3 \overline{z_2} - z_3 \overline{z_1} - z_1 \overline{z_2})$. Другими словами, числитель двойного отношения отличается от этого числа на что-то вещественное. Кстати, выходит, что в книге знак перепутан. Мотивация очень простая: мы хотим узнать, когда какое-то комплексное число является вещественным, это равносильно тому, что его мнимая часть нулевая. А мнимая часть числителя двойного отношения - это как раз $(|z_3|^2 - |z_4|^2) \mathrm{Im}(z_3 \overline{z_2} - z_3 \overline{z_1} - z_1 \overline{z_2})$.

[seraphimt]

dgwuqtj
Спасибо, сейчас вроде понял. Единственное уточнение - зачем выделять вещественные части, когда нам нужны мнимые:
$Im(z_1 \overline{z_3} - z_1 \overline{z_2} - z_2 \overline{z_3}) =-Im (\overline{z_1} z_3 - \overline{z_2} z_3 - \overline{z_1} z_2) =t \\ (z_1-z_2)(z_3-z_4)(\overline{z_1}-\overline{z_4})(\overline{z_3}-\overline{z_2})-i(|r|^2-|z_4|^2) t\in \mathbb R$

Насчёт опечаток, на этой же 177 странице чуть выше ещё одна есть, в одном из индексов.

[dgwuqtj]

Ну да, можно было сразу мнимую часть выделять...