Условие задачи.Пусть

это независимые экспоненциально распределённые случайные величины с соответствующими параметрами

. Необходимо найти
![$\mathbb{E}[\operatorname{max}\{X_1+Y_1, X_2+Y_2\}]$ $\mathbb{E}[\operatorname{max}\{X_1+Y_1, X_2+Y_2\}]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/0/200068a4b9d41bf70869f68bb8478c3f82.png)
.
Моё решение.Я решал задачу максимально прямолинейно. Для начала искал функцию распределения суммы двух независимых экспоненциальных случайных величин с разными параметрами. Если обозначить

и

, то получилось, что


Если
верить Википедии, то сумма двух экспоненциально распределённых случайных величин в общем случае следует hypoexponential распределению (я не знаю, как на русском языке его назвать) и функцию распределения я получил верную. Тогда если обозначить

, далее я ищу функцию распределения

, довольно таки стандартным образом. Я говорю, что так как

это независимые случайные величины, то

и

это тоже независимые случайные величины и поэтому

.
Экспоненциально распределённые случайные величины почти наверное неотрицательны, значит их сумма почти наверное неотрицательна, значит максимум

из двух таких сумм также почти наверное неотрицателен, поэтому можно искать математическое ожидание

следующим образом :
![$$\mathbb{E}[M] = \int\limits_{0}^{+\infty}(1 - F_M(t))dt = \int\limits_{0}^{+\infty}(1 - F_X(t) \cdot F_Y(t))dt=$$ $$\mathbb{E}[M] = \int\limits_{0}^{+\infty}(1 - F_M(t))dt = \int\limits_{0}^{+\infty}(1 - F_X(t) \cdot F_Y(t))dt=$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/8/548eb51cc238100c0f896edb9751a68f82.png)

Я руками посчитал этот интеграл, используя несколько раз тот факт, что при

.
Получил, что
![$$\mathbb{E}[M] = \dfrac{\lambda_2+\mu_2}{\lambda_2 \mu_2}+\dfrac{\lambda_1+\mu_1}{\lambda_1 \mu_1} + \dfrac{\lambda_1\mu_2\mu_1-\lambda_1\lambda_2\mu_1}{(\lambda_1-\mu_1)(\lambda_2 -\mu_2)(\mu_1+\lambda_2)(\mu_1+\mu_2)}-\dfrac{\lambda_1(\mu_2+\lambda_2)}{(\lambda_1-\mu_1)(\mu_1+\lambda_2)(\mu_1+\mu_2)}+$$ $$\mathbb{E}[M] = \dfrac{\lambda_2+\mu_2}{\lambda_2 \mu_2}+\dfrac{\lambda_1+\mu_1}{\lambda_1 \mu_1} + \dfrac{\lambda_1\mu_2\mu_1-\lambda_1\lambda_2\mu_1}{(\lambda_1-\mu_1)(\lambda_2 -\mu_2)(\mu_1+\lambda_2)(\mu_1+\mu_2)}-\dfrac{\lambda_1(\mu_2+\lambda_2)}{(\lambda_1-\mu_1)(\mu_1+\lambda_2)(\mu_1+\mu_2)}+$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/c/f2c11cb559423b7cb87118f501693b5982.png)
Вопросы.Есть ли у меня в решении какие-то ошибки, неверные логические переходы? У меня не получается упростить ответ дальше, а если я в сыром виде пытаюсь взять исходный интеграл в Wolfram Alpha, Sympy и Matlab, то ничего не получается. Изначально казалось, что в силу симметрии в выражениях ответ должен быть каким-то красивым, что говорит о том что должна быть где-то у меня ошибка, но я пока не вижу, где именно.