2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Динамика.Задача.
Сообщение06.11.2023, 10:34 
Аватара пользователя


26/11/14
763
Всем доброго времени суток. Помогите разобраться. Задача:
Длинная доска массой $M=2 kg $ лежит горизонтальном столе. На доске находится брусок массой $m=1 kg$ . Коэффициент трения между бруском и доской $ \mu_1=0,4$, между доской и столом $ \mu_2=0,2$ . К бруску приложена внешняя сила $F=10 H$, параллельная доске. Найти ускорения бруска и доски.

Решение: Рассмотрим движение бруска и доски в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

Изображение

Пишем уравнения 2-го Ньютона и раскладывем на проекции:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 m\vec{a}_1=\vec{F}+\vec{F}_{1fr}+\vec{N}_1+\vec{m}g \\
 M\vec{a}_2=\vec{F}_{2fr}+\vec{F}_{3fr}+ \vec{P} + M\vec{g} + \vec{N}_2 \\
\vec{P} = - \vec{N}_1\\
\vec{F}_{1fr}=-\vec{F}_{2fr}\\
\end{array}
\right.$

и в проекциях:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 ma_{1x}=F-F_{1fr} \\
 Ma_{2x}=F_{2fr}-F_{3fr} \\
a_{1y}=a_{2y}=0 \\
N_1=mg\\
N_2=P+Mg \\
P = N_1\\
F_{1fr}=F_{2fr}\\
\end{array}
\right.$

и после упрощения

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 ma_{1x}=F-F_{1fr} \\
Ma_{2x}=F_{2fr}-F_{3fr} \\
F_{1fr}=F_{2fr} \leqslant \mu_1 mg\\
F_{3fr} \leqslant \mu_2 (m+M)g\\
\end{array}
\right.$

В зависимости от заданных условий возможны 4 варианта поведения системы:

1. доска скользит по столу ($F_{3fr} < F_{2fr} $) и брусок скользит по доске ($F>F_{1fr}$)
2. доска скользит по столу ($F_{3fr} < F_{2fr} $) и брусок покоится на доске ($F=F_{1fr}$) и $a_1 = a_2$
3. доска покоится на столе ($F_{3fr} = F_{2fr} $) и брусок скользит по доске ($F>F_{1fr}$)
4. доска покоится на столе ($F_{3fr} = F_{2fr} $) и брусок покоится на доске ($F=F_{1fr}$) и $a_1 = a_2$

Вопросы следующие:
1. верно ли расставил все условия покоя и скольжения?
2. имеем систему с количеством неизвестных, большим, чем уравнений, еще и неравенства, решить в лоб не получится. Как определить, какой вариант здесь реализуется (по каким критериям)?

Даже если героически рассмотреть все 4 варианта, то как разумно здесь действовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика.Задача.
Сообщение06.11.2023, 10:53 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
Stensen в сообщении #1616416 писал(а):
имеем систему с количеством неизвестных, большим, чем уравнений, еще и неравенства, решить в лоб не получится. Как определить, какой вариант здесь реализуется (по каким критериям)?

Можно заметить, что $\mu_1N_1<\mu_2N_2$, так что доска по столу скользить не будет, и задача тривиальна.

Правда, в формулировке у вас ВИП:
Stensen в сообщении #1616416 писал(а):
лежит на гладком горизонтальном стол
Stensen в сообщении #1616416 писал(а):
между доской и столом $ \mu_2=0,2$
Слово "гладкий" подразумевает $\mu_2=0$.

Не переплелись ли тут две разные задачи в одну?

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика.Задача.
Сообщение06.11.2023, 11:07 
Аватара пользователя


26/11/14
763
DimaM в сообщении #1616418 писал(а):
В формулировке у вас ВИП:
Слово "гладкий" подразумевает $\mu_2=0$. Не переплелись ли тут две разные задачи в одну?
Предельно сорри, поправил. Да, переплелись, хотел рассмотреть общий случай для $\mu_2 > 0$

DimaM в сообщении #1616418 писал(а):
Можно заметить, что $\mu_1N_1<\mu_2N_2$, так что доска по столу скользить не будет, и задача тривиальна. [/math].
А как в общем случае? Например, если $\mu_2 = 0.1$ , тогда $\mu_1N_1> \mu_2N_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика.Задача.
Сообщение06.11.2023, 11:12 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
Stensen в сообщении #1616422 писал(а):
Например, если $\mu_2 = 0.1$ , тогда $\mu_1N_1> \mu_2N_2$

Тогда по мере увеличения силы $F$ вначале начнет скользить доска по столу (ваш режим 2), а потом брусок по доске (ваш режим 1). Граница этих двух режимов - равные ускорения и $F_{1fr}=\mu_1N_1$. Режим 3 в таком случае не реализуется.
То есть, в зависимости от знака неравенства, возможны режимы 4-2-1 или 4-3 (по мере возрастания силы $F$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика.Задача.
Сообщение06.11.2023, 11:17 
Аватара пользователя


26/11/14
763
DimaM в сообщении #1616423 писал(а):
Stensen в сообщении #1616422 писал(а):
Например, если $\mu_2 = 0.1$ , тогда $\mu_1N_1> \mu_2N_2$

Тогда по мере увеличения силы $F$ вначале начнет скользить доска по столу (ваш режим 2), а потом брусок по доске (ваш режим 1). Граница этих двух режимов - равные ускорения и $F_{1fr}=\mu_1N_1$. Режим 3 в таком случае не реализуется.
Спасибо, вроде понятно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group