Задачка на тензоры

[пианист]

lazarius в сообщении #1614961 писал(а):

31. If $f$ is an invariant, use the results of Problem 30...

"Долго думал, читал пейджер"
$\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial z^r}(\sqrt{g} g^{rs}\frac{\partial f}{\partial z^s})$ применение оператора Лапласа-Бельтрами к $f$, ${\nabla}^2f$ в соответствии с приведенной выше отсылкой применение оператора Лапласа к $f$. И что означает сие сокращение (на Бельтрами)? что оператор Лапласа-Бельтрами в плоском пространстве это оператор Лапласа? Ну, вроде, очевидно же, к чему тогда вся эта вермишель сверху. Если не, тогда что.

lazarius в сообщении #1615640 писал(а):

... $g^{rs}f_{|rs} = (g^{rs}f_{|r})_{|s}$ .

Думаю, какие бы нетривиальные обозначения не придумал товарищ Хей, правило Лейбница он не отменил.

[svv]

пианист, Вы имеете в виду, что пропущен член $-g^{rs}{}_{|s}\;f_{|r}$ ? Это благодаря тому, что ковариантная производная от метрического тензора равна нулю.

[пианист]

svv
Да, затупил ;(

[пианист]

пианист в сообщении #1615725 писал(а):

И что означает сие сокращение (на Бельтрами)?

А, кажется понял!
Автор имеет в виду рассуждение: поскольку $\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial z^r}(\sqrt{g} g^{rs}\frac{\partial f}{\partial z^s})$ скаляр (для обоснования чего, собс-но, все это), считать можно в любых координатах. В т.ч. (для плоского пространства) в эвклидовых.

upd О чем уважаемые svv и Утундрий уже и написали ;(