Как найти предел если там есть корень n-ой степени?

[artem_maths324]

Необходимо вычислить \lim_{n \to \infty} \frac{ \sqrt[n]{n^{2}}-3\sqrt[n]{n}+2}{\sqrt[n]{n^{4}}+2\sqrt[n]{n^{2}}-3}
Я хотел воспользоваться теоремой о зажатом пределе и даже нашел последовательность для оценки снизу: \frac{-\sqrt[n]{n}}{8\sqrt[n]{n^{4}}} но вот последовательность для оценки сверху с пределом -\frac{1}{8} придумать не могу. Подскажите, пожалуйста, куда копать?

[lel0lel]

artem_maths324 в сообщении #1615130 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, куда копать?

В направлении факторизации квадратичных полиномов, то есть к квадратным уравнениям.

[мат-ламер]

artem_maths324 в сообщении #1615130 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, куда копать?

Для начала для упрощения обозначений неплохо бы ввести новую переменную $t=\sqrt[n]{n}$ .

[revos]

мат-ламер
Чтобы ввести новую переменную \mathsf{t} автору темы надо вычислить её предел при неограниченном возрастании \mathsf{n} . Это и был совет ему на параллельном мат форуме.
"Ласковое дитя двух маток сосёт."

[pppppppo_98]

revos в сообщении #1615150 писал(а):

автору темы надо вычислить её предел при неограниченном возрастании \mathsf{n}

зачем... а что без вычисления предела нельзя упростить выражение последовательности

[svv]

artem_maths324, revos
Каждая формула (вплоть до отдельных переменных в тексте) обрамляется ровно двумя знаками доллара, один в начале, другой в конце. Тэг math система добавит автоматически.

(см.)

Было:

artem_maths324 в сообщении #1615130 писал(а):

Я хотел воспользоваться теоремой о зажатом пределе и даже нашел последовательность для оценки снизу: \frac{-\sqrt[n]{n}}{8\sqrt[n]{n^{4}}} но вот последовательность для оценки сверху с пределом -\frac{1}{8} придумать не могу.

Добавляем пару знаков доллара:

artem_maths324 в сообщении #1615130 писал(а):

Я хотел воспользоваться теоремой о зажатом пределе и даже нашел последовательность для оценки снизу: $\frac{-\sqrt[n]{n}}{8\sqrt[n]{n^{4}}}$ но вот последовательность для оценки сверху с пределом $-\frac{1}{8}$ придумать не могу.

revos
Вместо \mathsf{t}, \mathsf{n} лучше писать $t,n$ (кодируется просто $t,n$).

[revos]

Цитата:

зачем... а что без вычисления предела нельзя упростить выражение последовательности

Не понял логической последовательности в ваших рассуждениях.
Если новая переменная имеет пределом число, которое после подстановки в выражение под знаком предела даёт, с помощью элементарных арифметических действий, некий конечный результат , то зачем тратить время на упрощение этого выражения. В данном случае - вы заранее предлагаете разлагать многочлены в числителе и знаменателе дроби на простейшие множители.
Другое дело, если подстановка предельного значения новой переменной в выражение под знаком предела даёт неопределённость. И от этого упрощения не уйти.
Но ведь прежде надо найти это предельное значение. Речь об этом.

[Утундрий]

Дважды Лопиталь: в экспоненте и вне оной.