Метод конечных элементов для симуляции подушки с воздухом

[Euler-Maskerony]

Здравствуйте.
Представьте себе замкнутую подушку сложной формы. Пусть она будет топологически эквивалентна сфере. Теперь туда накачивается воздух до определенного давления. Необходимо определить, какую форму примет подушка.
Мой научный руководитель предлагает использовать метод конечных элементов для решения данной задачи, но я совсем не понимаю как его можно здесь применить. Интуитивно, кажется, что он здесь применим, потому что мы можем задать сетку в виде двумерной поверхности, встроенной в трехмерное пространство. Дело в том, что в моей голове есть информация только о том, что сетка в методе конечных элементов задает область определения функции, которую мы собираемся искать, которая остается статичной при выполнении метода. В таком случае мы можем решить задачу, например, при уже заданой форме подушки нахождения сил давления на разные её участки (как например сделано в знаменитой картинке с моделированием аэродинамики коровы). Но я совсем не понимаю как можно адаптировать данный метод для текущей задачи, потому что, скорее всего, подушку необходимо представить в виде узлов, соединенных (не)растяжимыми нитями. Если так, то необходимо решать систему уравнений, состоящую из уравнений для каждой координаты каждого узла. Я примерно вижу, что это возможно, ведь данный метод заключается как раз в решении систем уравнений, поэтому должно получиться поставить системы уравнений друг на друга и решить их вместе. Это ведь так? Но я думаю, что врядли это возможно в общем случае. Или можно задать сложную форму подушки как-то по-другому?
Я очень прошу вас просто подсказать мне в какую сторону мне нужно смотреть, чтобы разобраться с этим. Как же всё таки решить такую задачу с помощью метода конечных элементов?
Я спрашивал у научного руководителя про это, но он отвечает так, как будто бы это очевидно, поэтому я стесняюсь его распрашивать более усиленно.

[ozheredov]

Euler-Maskerony в сообщении #1614980 писал(а):

он отвечает так, как будто бы это очевидно

Первый признак того, что он не настроен Вами руководить. От слова совсем. И такую манеру разговора разыгрывает специально, чтоб Вы отвяли. Тут придется либо все делать самим, а ему только отчитываться результатами. Либо менять научника.

Euler-Maskerony в сообщении #1614980 писал(а):

поэтому я стесняюсь его распрашивать более усиленно

Правильный глагол не "стесняюсь", а "понимаю, что расспрашивать бесполезно ввиду написанного выше - результатом будет либо информационный мусор "схавай рандомный набор слов и сытый отстань", либо прямой посыл в путешествие по знаменитым местам".

[Euler-Maskerony]

ozheredov в сообщении #1614986 писал(а):

Первый признак того, что он не настроен Вами руководить. От слова совсем. И такую манеру разговора разыгрывает специально, чтоб Вы отвяли. Тут придется либо все делать самим, а ему только отчитываться результатами. Либо менять научника.

Не, я с ним с начала учёбы знаком и думаю, что он хороший научник. Тут, думаю, имеет место, скорее, недопонимание. К тому же у нас не совсем курсовая. Он меня пригласил работать в лабораторию над его проектом, а по части, которая от меня требуется, я также напишу курсач. Сейчас мне сказано пока что разобраться с методом и с фреймворком для него. Так что тут скорее я туплю

[Geen]

Euler-Maskerony в сообщении #1614980 писал(а):

Представьте себе замкнутую подушку сложной формы.

Не могу. Могу наволочку представить. Условно могу представить надувной шарик. Подушку сложной формы - не могу.

Euler-Maskerony в сообщении #1614980 писал(а):

Интуитивно, кажется, что он здесь применим

А в чём состоит этот метод?

[Euler-Maskerony]

Geen в сообщении #1614990 писал(а):

Euler-Maskerony в сообщении #1614980 писал(а):

Представьте себе замкнутую подушку сложной формы.

Не могу. Могу наволочку представить. Условно могу представить надувной шарик. Подушку сложной формы - не могу.

Давайте тогда шарик, но сложной формы.

Geen в сообщении #1614990 писал(а):

А в чём состоит этот метод?

Это метод численного решения дифференциального уравнения вида $u'' = f(x)$. Он происходит от идеи разделить область определения на непересекающиеся части, допустим, треугольники. Таким образом перейти к решению более простой задачи, где функции представимы в виде конечного количества базисных элементов, которые являются кусочными линейными функциями. Но если мы приближаем целевую функцию кусочно-линейной, то её вторая производная будет равна нулю, что не позволяет решить данную задачу. Для того, чтобы это исправить придумали перейти к более слабой формулировке условия, которая основывается на предположении (которое потом доказывается), что условие можно переписать в виде:
$u'' \cdot v = f \cdot v; \forall v$
Далее показывается, что если $u,v$ принадлежат семейству $V = \{v \in L^2(0,1): v(0) = 0\}$, то интегрируя обе части на отрезке $[0,1]$ и интегрируя по частям, получим:
$\int\limits_{0}^{1}u' \cdot v' = \int\limits_{0}^{1}f \cdot v; (*)$
Тут мы отбрасываем граничные члены, но там нужно ещё доказывать почему они оба обнуляются.
Далее данное представление используется в методе Галеркина, который заключается как раз в том, что теперь мы будем брать $v,u \in V_h \subset V$, где $V_h$ - это конечномерное линейное пространство функций. Таким образом, т.к. пространство линейное, форму $(*)$ можно рассматривать только для базисных функций в $V_h$. Далее, представляя $u$ через тот же базис мы можем численно решить задачу, решая систему линейных уравнений, где количество уравнений равно количеству базисных функций. Если мы выберем базисные функции так, чтобы они имели совсем небольшую область, где они не равны нулю, то эта система получится разреженной, что позволит решать её очень быстро.

Я спёр книжку про этот метод с этого сайта https://zlibrary.cc/dl/the-mathematical-theory-of-finite-element-methods-2 (в ней вся информация описана на первых 20 страницах), но вы также более формальное определение можете посмотреть на википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method

Главная суть в выборе правильных базисных функций. В этом методе вы разбиваете область значений на сетку, а каждая базисная функция такова, что равна $1$ в каком-то одном узле этой сетки и нулю во всех остальных. Получается, что она выглядит, как треугольник для одномерного пространства и как гора в двумерном пространстве. Также дополнительное ограничение в том, что такая базисная функция должна достаточно хорошо приближать функции, потому что ошибка решения уравнения будет напрямую от этого зависеть (будет ограничена сверху максимальной ошибкой приближения умноженой на что-то). Эти свойства гарантируют точность решения и разреженность матрицы.

[ozheredov]

Euler-Maskerony в сообщении #1614993 писал(а):

Но если мы приближаем целевую функцию кусочно-линейной, то её вторая производная будет равна нулю, что не позволяет решить данную задачу.

Затриангулируем так, чтобы радиусы описанных вокруг каждого треугольника окружностей были небольшими (что-то типа Дэлонэ). И всяческую пространственную производную заменим на ее конечно-разностный аналог, вычисляемый по некоторому количеству близких треугольников. Почему нельзя?

[Geen]

Euler-Maskerony в сообщении #1614993 писал(а):

где функции представимы в виде конечного количества базисных элементов, которые являются кусочными линейными функциями.

Можно подробнее? а то мне кажется, что Вы что-то не то написали.

-- 28.10.2023, 23:27 --

Euler-Maskerony в сообщении #1614993 писал(а):

Давайте тогда шарик, но сложной формы.

А откуда возьмётся "сложность формы"?

Euler-Maskerony в сообщении #1614980 писал(а):

Или можно задать сложную форму подушки как-то по-другому?

Давайте без методов - сформулируйте (уравнениями) исходную задачу.

[Утундрий]

Euler-Maskerony в сообщении #1614980 писал(а):

прошу вас просто подсказать мне в какую сторону мне нужно смотреть

В сторону теории пластин и оболочек.