Оценка области аналитичности неявно заданного отображения

[_hum_]

Общая постановка проблемы: пусть отображение $F: \mathbb{R}\times B_1 \rightarrow B_2$, где $B_1, B_2$ - банаховы, удовлетворяет в некоторой точке $(t_0, v_0)$ всем условиям теоремы о неявно заданном аналитическом отображении. Соответственно, по этой теореме существует окрестность $U(t_0)\subset \mathbb{R}$ и аналитическое отображение $f:U(t_0) \rightarrow B_1$, удовлетворяющее $F(t, f(t))=0$. Вопрос: как оценить размер $U(t_0)$ (радиус сходимости разложения в ряд Тейлора в $t_0$ соответствующего отображения $f$)?

Конкретно в моем случае имеется параметрическое с вещественным параметром $t$ семейство линейных ограниченных операторов $A_t: B\rightarrow B$ на банаховом пространстве $B$. Пусть известно, что для каждого оператора $A_t$ его спектральный радиус $r_t$ является простым собственным значением, которому отвечает нормированный собственный вектор $h_t$. Предположим теперь, что установлено, что отображение $t\mapsto A_t$ - аналитическое в окрестности нуля, и $r_t$ отделено от остального спектра. В этом случае можно воспользоваться теоремой об обратной функции, чтобы доказать, что $t\mapsto r_t$, $t\mapsto h_t$ тоже будут аналитическими. Моя проблема - как оценить радиус сходимости разложения в ряд Тейлора соответствующих отображений? В большинстве вариантов формулировок только речь о "существует такая окрестность", и ничего не говорится про ее оценку.

В каких источниках имеет смысл попытаться искать ответ на подобный вопрос?

Заранее благодарен за помощь.

[dgwuqtj]

Кажется, это называется методом мажорант. Что-то есть в книге Серр, Алгебры Ли и группы Ли, часть II, глава II. В книге несколько другой контекст и в формулировках явные оценки не пишутся, но доказательства вроде переносятся на банаховы пространства и дают явные оценки.

[Padawan]

На всякий случай, метод мажорантных функций описан и в трехтомнике Фихтенгольца, том 2, пункт 450 "Решение уравнений рядами".

[_hum_]

dgwuqtj
Padawan
спасибо за идею, но как-то у меня не получается ее обобщить на мой случай :( Вот попытка:
в моем случае $B = B(X)$ - некоторое банахова алгебра функций, заданных на некотором пространстве $X$, $A_t = A(e^{t \psi}\cdot)$, где $A$ - некоторый линейный ограниченный оператор $A: B(X) \rightarrow B(X)$, а $\psi$ - некоторая функция из другого нормированного пространства функций на $X$, для которой справедливо разложение $A(e^{t \psi}\cdot) = A + \sum_{k=1}^{\infty}A(\psi^k\cdot)/k!$, причем $\|A(\psi^k\cdot)\| \leqslant k!\|\psi\|^k$. Также в моем случае помимо собственного вектора $h_t$ имеется также собственный функционал $\nu_t$, причем $h_t \not\in \ker \nu_t $. Будем считать, что используется нормировка $\|\nu_t\|=1$, $\nu_t(h_t) = 1$. Также собственное значение договоримся записывать в экспоненцированном виде, а именно, как $e^{\lambda_t}$. Наконец, положим для удобства $\Bar{A} = e^{-\lambda_0}A$, $\Delta\lambda = \lambda_t - \lambda_0$. Тогда имеем

$$ \Bar{A}(e^{t\psi}h_t) - e^{\Delta \lambda_t}h_t = 0, \quad\quad (1) $$

Поскольку все пространство $B(X)$ можно представить в виде прямой суммы $ \ker \nu_0$ и одномерного пространства, соответствующего собственному вектору $h_0$, то можем предполагать, что $h_t = h_0 + \sum_{k=1}^{\infty}h_k t^k$, где $h_i \in \ker \nu_0$, и $\lambda_t = \lambda_0 + \sum_{k=1}^{\infty}\lambda_k t^k$. С учетом этого из (1) после применения $\nu_0$ также вытекает:

$$\nu_0\big(\Bar{A}(e^{t\psi}h_t)\big) - e^{\Delta \lambda_t} = 0.\quad\quad (2)$$

Следуя методике Фихтенгольца по мажорирующим функциям, получим нужные начальные представления в виде разложений с нужным представлением (для удобства далее полагаем $\Delta h_t = h_t - h_0$):

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\Bar{A}\big(\psi^k h_0\big)t^k - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\Delta\lambda_t^k h_0 + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\Bar{A}\big(\psi^k \Delta h_t\big)t^k - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\Delta\lambda_t^k \Delta h_t = (\mathrm{Id} - \Bar{A}) \Delta h_t, \quad (1')$$

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\nu_0\Big(\Bar{A}\big(\psi^k h_0\big)\Big)t^k - \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!}\Delta\lambda_t^k + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\nu_0\Big(\Bar{A}\big(\psi^k \Delta h_t\big)\Big)t^k = \Delta\lambda_t. \quad (2')$$

Система (1'),(2') имеет решение в виде комбинаций коэффициентов, потому что оператор $\mathrm{Id} - \Bar{A}$ обратим на $\ker \nu_0$. Но вот как дальше проводить рассуждения с мажорированием - непонятно.