Парадокс равномерного распределения на нат. числах

[Doctor Boom]

Известно, что на натуральных числах нельзя задать равномерного вероятностного распределения, в отличии от отрезка $[0,1]$. Давайте разобьем этот отрезок на непересекающиеся счетные множества, где в каждом множестве все элементы пронумерованы (это можно сделать с помощью аксиомы выбора). Тогда случайной вещественной величине на $[0,1]$ можно сопоставить номер элемента какого-то счетного подмножества, т.е. имеем равномерное распределение на $N$.
Парадокс

[Mihr]

Doctor Boom в сообщении #1614241 писал(а):

Давайте разобьем этот отрезок на непересекающиеся счетные множества

Имеете в виду: на счётное множество непересекающихся множеств? Или на континуум счётных множеств? Уточните.

[Doctor Boom]

Mihr
Второе

[manul91]

Doctor Boom в сообщении #1614241 писал(а):

можно сопоставить номер элемента какого-то счетного подмножества, т.е. имеем равномерное распределение на $N$.

Как именно "случайной вещественной величине на $[0,1]$ можно сопоставить номер элемента какого-то счетного подмножества"?
И откуда вторая часть (после "т.е.") следует?

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1614241 писал(а):

Тогда случайной вещественной величине на $[0,1]$ можно сопоставить номер элемента какого-то счетного подмножества, т.е. имеем равномерное распределение на $N$.

Кто Вам сказал, что получившаяся функция из отрезка в натуральные числа вообще будет измеримой? И тем более инвариантной по перестановкам.

[Doctor Boom]

manul91 в сообщении #1614245 писал(а):

Как именно "случайной вещественной величине на $[0,1]$ можно сопоставить номер элемента какого-то счетного подмножества"?

В каждом подмножестве все элементы пронумерованы

manul91 в сообщении #1614245 писал(а):

откуда вторая часть (после "т.е.") следует?

Ну, все точки равноправны. Иначе покажите, что это не так

-- 22.10.2023, 21:04 --

mihaild в сообщении #1614247 писал(а):

Кто Вам сказал, что получившаяся функция из отрезка в натуральные числа вообще будет измеримой?

Простыми словами, что это и причем тут это?

[Null]

Doctor Boom в сообщении #1614249 писал(а):

Простыми словами, что это и причем тут это?

Это определение вероятности. Ваше распределение - не вероятностное пространство. Вы даже посчитать вероятность выпадения единицы не сможете.

[ozheredov]

Doctor Boom в сообщении #1614249 писал(а):

Простыми словами, что это

Есть квадрат с периметром 4. Отгрызаете ему углы (см. гугол, как это правильно делается). После 100500-той итерации отгрызания квадрат становится похожим на Владимирский Централ с периметром $\pi$. Вопрос: куда делись 0.86 метров конопляной веревки? ответ: полученная в пределе фигура неизмерима.

[Doctor Boom]

Null
Как это не вероятностное пространство, когда я задал СВ?

[Null]

Не любая функция от случайной величины - случайная величина. Вот вы контрпример привели.

[Doctor Boom]

Null в сообщении #1614253 писал(а):

Не любая функция от случайной величины - случайная величина.

Покажите. Нам оракул дал две штуки - один ГСЧ на отрезке, другой черный ящик, который по заданному числу на отрезке выдает натуральное. Проводим испытания, считаем вероятности по частотам, имеем новый ГСЧ

Null в сообщении #1614253 писал(а):

Вот вы контрпример привели

Пока не видно Я уж думаю, что может быть там будет какое угодно возможное распределение, но не равновероятностное, только с чего бы?

[Null]

Doctor Boom в сообщении #1614255 писал(а):

Проводим испытания, считаем вероятности по частотам, имеем новый ГСЧ

Это невозможно сделать в данном случае:
1.Нужно бесконечно много испытаний.
2.Вероятности не будут сходиться! Или будут сходиться к 0 для каждого натурального числа.
3. Может даже нужно континуум испытаний. Как пределы считать?

[manul91]

Doctor Boom в сообщении #1614249 писал(а):

Цитата:

откуда вторая часть (после "т.е.") следует?

Ну, все точки равноправны. Иначе покажите, что это не так

Даже если было бы понятным что означает "все точки равноправны" в данном контексте...
Но на разных точек из $[0,1]$, вы ведь сопоставляете некие порядковые точки из разных счетных подмножеств $[0,1]$?

В том же неопределенном духе рассуждений: что вам гарантирует что каждое счетное подмножество входит в несчетном количестве счетных подмножеств (из которых "состоит" $[0,1]$, в данном разбиении) - с одинаковым "весом"?

Если намекаете что они "одинаковы потому что все счетны, а значит между любых двух из них можно сделать биекцию" - и якобы поэтому у них "входящие веса должны быть одинаковыми" - это не так, и в данном контексте ничего не означает.

Например, $[0,1]$ можно разделить на две несчетные части $[0,0.0001]$ и $(0.0001,1]$ - и у них "вес" будет "заведомо разным" - несмотря на того что они "оба континуумы и для них существует взаимнооднозначное отображение".

[Mikhail_K]

Doctor Boom в сообщении #1614241 писал(а):

Известно, что на натуральных числах нельзя задать равномерного вероятностного распределения, в отличии от отрезка $[0,1]$. Давайте разобьем этот отрезок на непересекающиеся счетные множества, где в каждом множестве все элементы пронумерованы (это можно сделать с помощью аксиомы выбора). Тогда случайной вещественной величине на $[0,1]$ можно сопоставить номер элемента какого-то счетного подмножества, т.е. имеем равномерное распределение на $N$.

Почему Вы думаете, что распределение будет равномерным? Кажется естественным, что полученное распределение на $\mathbb{N}$ (если о нём вообще можно говорить) будет зависеть от того, как именно произведено разделение на счётные множества, а также от того, как именно пронумерованы элементы в этих счётных множествах.

И это просто объяснить. Немного изменю Вашу формулировку: пусть мы разбиваем отрезок на непересекающиеся конечные множества, например, состоящие из двух элементов. То есть разбиваем отрезок на непересекающиеся пары точек, и в каждой паре определяемся, какая точка первая и какая вторая. Теперь каждой точке отрезка присвоен номер: $1$ или $2$. Однако равномерное распределение на отрезке не обязательно будет порождать равномерное распределение на множестве $\{1,2\}$ (пример придумайте сами, это несложно). Ну вот, точно так же и на $\mathbb{N}$ равномерное распределение не будет порождаться с помощью Вашей конструкции.

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1614255 писал(а):

Покажите.

У вас множество точек, соответствующее натуральным единицам, не борелевское.