Замена в диффурах

[Guyder]

Сегодня на контрольной был диффур, приведу его решение до замены (полностью решать, пока не разберусь с заменой, не вижу смысла)

$$2(y^3 - y + xy) dy = dx$$

$$y^2 - 1 + x = \frac{dx}{d(y^2)}$$

Между $x$ и $y$, как я понимаю, есть некоторая связь, то есть $y=y(x)$ или $x=x(y)$ (т.к. уравнение в симметричной форме), а смыслом решения диффура является поиск всех этих зависимостей.
Логичней для этой задачи искать решения вида $x = x(y)$
Но если я распишу дифур как его понимаю я, то не понимаю как применим замену $t = y^2$:

$$y^2-1+x(y) = \frac{d\big(x(y)\big)}{d(y^2)}$$

[EUgeneUS]

Guyder в сообщении #1613901 писал(а):

не понимаю как применим замену $t = y^2$:

Не понимаю, что тут непонятного.

$y = y(t)$ - это просто обратная замена
$x = x(y) = x(y(t)) = x(t)$

[amon]

Guyder в сообщении #1613901 писал(а):

Но если я распишу дифур как его понимаю я, то не понимаю как применим замену $t = y^2$

$dt=2ydy,\,(t-1+x)dt=dx$

[Guyder]

EUgeneUS в сообщении #1613912 писал(а):

$y = y(t)$ - это просто обратная замена
$x = x(y) = x(y(t)) = x(t)$

Не очень понимаю, если это из моих обозначений. То есть $y = y(x)$ - решение, при этом $y^2 = t$, то есть $y(t) = \sqrt{t}$, а значит $y(x) = \sqrt{x}$. Для меня это выглядит так.

amon в сообщении #1613914 писал(а):

$dt=2ydy,\,(t-1+x)dt=dx$

Если заменять таким образом, то я для себя вижу следующее (пожалуй для того, чтобы получилось покороче заменю условие на однородное уравнение, все равно придется его решать чтобы дойти до ответа). То есть имеем:
\begin{equation}\frac{dx}{dt} = x\end{equation} \begin{equation}\left[\begin{gathered} \frac{dx}x = dt, \\ x = 0; \end{gathered}\right.\end{equation}$$ \begin{equation}\left[\begin{gathered}\ln{|x|} = t + C_0, \\ x = 0; \end{gathered}\right.\end{equation}$$ \begin{equation}x = Ce^t\end{equation}
Или последнее (как я понимаю в этом примере) можно переписать как $x(t) = Ct \iff x(y^2) = e^{y^2}$. Теперь проделаем все в обратную сторону, но чуть более подробно:
\setcounter{equation}{4} \begin{equation}x(y^2) = Ce^{y^2}\end{equation} \begin{equation}\left[\begin{gathered}\ln{|x(y^2)|} = y^2 + C_0, \\ x(y^2) = 0;\end{gathered}\right.\end{equation} \begin{equation}\left[\begin{gathered}\frac{d\big(x(y^2)\big)}x = d(y^2), \\ x(y^2) = 0;\end{gathered}\right.\end{equation} \begin{equation}\frac{d\big(x(y^2)\big)}{d(y^2)} = x(y^2)\end{equation} \begin{equation}x(y^2)\cdot 2ydy = d\big(x(y^2)\big)\end{equation}
Последнее уравнение не соответствует исходному. То есть где-то в моих рассуждениях есть ошибка.

[EUgeneUS]

Guyder в сообщении #1613934 писал(а):

То есть имеем:

$$\begin{equation}\frac{dx}{dt} = x\end{equation}$$

Чего?

У нас замена $t = y^2$, а вот как $x$ зависит от $t$ - неизвестно. Это собственно говоря и надо найти.
Откуда Вы взяли (1)?

[Guyder]

EUgeneUS в сообщении #1613941 писал(а):

Откуда Вы взяли (1)?

Я решаю однородное уравнение соответствующее неоднонородному уравнению, которое я взял отсюда:

amon в сообщении #1613914 писал(а):

$dt=2ydy,\,(t-1+x)dt=dx$

то есть ищу решение вида $x = \varphi(t)$

[EUgeneUS]

Guyder в сообщении #1613934 писал(а):

То есть $y = y(x)$ - решение, при этом $y^2 = t$, то есть $y(t) = \sqrt{t}$, а значит $y(x) = \sqrt{x}$. Для меня это выглядит так.

Странно как-то выглядит, мягко говоря.
1. Если мы уже нашли "$y = y(x)$ - решение", то зачем нам надо переходить обратно к $t$?
2. Хорошо, можно написать так:
пуcть $t=t(x)$ - решение (диффура после замены).
тогда $y = \pm \sqrt{t(x)}$ будет решение исходного диффура.
И что?

-- 19.10.2023, 17:40 --

Guyder в сообщении #1613942 писал(а):

Я решаю однородное уравнение соответствующее неоднонородному уравнению, которое я взял отсюда:

Нет, Вы делаете что-то другое.

[Guyder]

EUgeneUS в сообщении #1613943 писал(а):

пуcть $t=t(x)$ - решение (диффура после замены)

я вот не понимаю как заменить-то

EUgeneUS в сообщении #1613943 писал(а):

1. Если мы уже нашли "$y = y(x)$ - решение", то зачем нам надо переходить обратно к $t$?

могу ли я предположить что $x = x(y)$ - решение и переписать уравнение
$2(y + xy) dy = dx$
в виде?:
$2(y + x(y)\cdot y)dy = d\big(x(y)\big)$

[EUgeneUS]

Так можете.
Ибо ничего не поменялось, просто Вы явно указали, что рассматриваете $x$, как функцию от $y$

[Guyder]

Кажется я понял. Если я записываю уравнение в виде $2(y + x(y)\cdot y)dy = d\big(x(y)\big)$ то замену $t = y^2$ делать бессмысленно. Но при этом в уравнение везде где присутствует $y$ он входит в него в квадрате. Значит никто не мешает рассматривать решение как $x = x(y^2)$, в таком случае решения терять и приобретать не будем.

верно я понимаю?

[EUgeneUS]

Guyder в сообщении #1613951 писал(а):

Кажется я понял.

Меня гложут смутные сомнения....

Guyder в сообщении #1613951 писал(а):

Если я записываю уравнение в виде $2(y + x(y)\cdot y)dy = d\big(x(y)\big)$ то замену $t = y^2$ делать бессмысленно.

тут такое дело.
Для данного уравнения (которое совсем не то же самое, что начальное, где такую замену предлагается сделать), эту замену делать
а) можно. При должном уровне аккуратности. Ибо, вообще говоря, $y$ - может быть отрицательным, а $t = y^2$ - всегда положительно.
б) вот для данного уравнения - действительно бессмысленно. Ибо никакого профита эта замена не даст.

Guyder в сообщении #1613951 писал(а):

Но при этом в уравнение везде где присутствует $y$ он входит в него в квадрате.

А это, видимо, относится к исходному, несколько переписанному, уравнению. Там - да, $y$ везде входит в квадрате.
UPD: и оказывается удобным перейти от $y$ к $t = y^2$

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: по назначению.

[amon]

Guyder в сообщении #1613934 писал(а):

$$x(y^2)\cdot 2ydy = d\big(x(y^2)\big)$$

А что Вас не устраивает? Это - буквально исходное уравнение

$$2xydy = dx.$$