Нахождение объема пересечения двух цилиндров

[Knight2023]

У меня есть два цилиндра:

$$ x^2 + z^2 =R^2$$

$$ y^2 + z^2 =R^2$$

и мне нужно найти объем твердого тела, заключенного в их пересечении. Твердое вещество, которое мы получили бы, - это



мы можем предположить, что красная часть принадлежит $x^2+z^2=R^2$ и синяя часть $y^2+z^2=R^2$. То есть красный цилиндр имеет свою ось y, а синий цилиндр имеет свою ось x.

Чтобы найти объем этого твердого тела, мы бы рассмотрели область, которая находится выше xy-plane, что составляет половину необходимого объема.

$$ V = \int \int \int _E dz dx dy $$

проекция этого твердого тела на xy-plane представляет собой квадрат. Я бы нарисовал проекцию следующим образом:

https://drive.google.com/file/d/1fnhyqd ... sp=sharing

Регион $D_1 = \{ (x,y): 0 < y < x, 0<x<r\}$. Следовательно,

$$ 1/16 V = \int_{x=0}^{R} \int_{y=0}^{x} \int_{0}^{h(x,y)} dz dy dx$$

Я сомневаюсь в том, какой цилиндр находится выше $D_1$ это: $x^2+z^2 =R^2$ or $y^2+z^2=R^2$?

[iifat]

Я б попробовал взять синюю четвертушку. Имхо, получится попроще.

[lel0lel]

Нарежьте его на правильные прямоугольные призмы, в основании будут квадраты

[Knight2023]

iifat
соглашаюсь с вашим мнением:

$$ 1/16 V = \int_{x=0}^{R} \int_{y=0}^{x} \int_{z=0}^{\sqrt{R^2-y^2}} dz dy dx$$

$$ 1/16 V = \int_{x=0}^{R} \int_{y=0}^{x} \sqrt{R^2-y^2} dy dx$$

$$ 1/16 V = 1/2 \int_{x=0}^{R} x\sqrt{R^2-x^2} +R^2 \tan^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}\right) dx$$

$$ 1/16 V = 1/2[1/3 R^3 + \pi/2 R^3 -R^3] $$

ответ, по-видимому, неверен

[realeugene]

У $\frac 1 {16}$ фигуры в основании четверть окружности, крыша наклонена под 45 градусов, а боковая кривая стенка вертикальн. Вот по ней и интегрируйте объём. $h = x$, $y = \sqrt {1 - x^2}$ Выберите правильный порядок интегрирования:

$$V= 16 \int_0^1 {x\sqrt{1-x^2}\,dx}$$

[lel0lel]

Это пересечение есть тело Штейнмеца. Можно и больше двух цилиндров пересекать, по-моему, в Википедии об этом есть.

[redicka]

Правильно так. См.ссылку.
https://ibb.co/ZVLy46K

[Knight2023]

Что ж, я думаю, что разобрался с этим.

Предположим, у нас есть два цилиндра

$$ x^2+z^2=R^2$$

$$ y^2 + z^2=R^2$$

их график в первом октанте (octant) показан здесь:
https://www.math3d.org/ZYSNyFjGw

В регионе:

$$ D_1 = \{(x,y): 0<x<R, 0<y<x\}$$

мы исходим из $z=0$ к $z= \sqrt{R^2-x^2}$, потому что это зеленая кривая, которая окружает пересекаемое твердое тело. Но когда мы смотрим сверху, кажется, что синяя кривая ($z= \sqrt{R^2-y^2}$) лежит над этим регионом $D_1$.

$$ V = 16 \int_{0}^{R} \int_{0}^{x} \int_{0}^{\sqrt{R^2-x^2} dz dy dx$$

$$ V = 16 \int_{0}^{R} \int_{0}^{x} \sqrt{R^2-x^2} dy dx$$

$$ V= 16 \int_{0}^{R} x\sqrt{R^2-x^2}dx$$

$$ V = \frac{16}{3} R^3$$

Это изображение https://th.bing.com/th/id/OIP.mGAteN-0B ... =2&pid=1.7

было довольно вводящим в заблуждение. На нем показаны верхние изгибы, в то время как нам нужны внутренние.

Может кто-нибудь, пожалуйста, прокомментировать мою работу?

[lel0lel]

Ответ у вас верный. В этой задаче самое быстрое вычисление с помощью принципа Кавальери. Но если уж хочется тройной интеграл, то при фиксированном $z$ находим пределы для $x, y$ из неравенств, определяющих цилиндры. Затем повторное интегрирование. Тогда не нужно рассуждений про октанты.
На всякий случай: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid

[Knight2023]

lel0lel в сообщении #1613583 писал(а):

Ответ у вас верный. В этой задаче самое быстрое вычисление с помощью принципа Кавальери. Но если уж хочется тройной интеграл, то при фиксированном $z$ находим пределы для $x, y$ из неравенств, определяющих цилиндры. Затем повторное интегрирование. Тогда не нужно рассуждений про октанты.
На всякий случай: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid

Thank you.