Последовательность и ее предел

[Ёж]

Пусть дана последовательность $\{x_n\} : x_1, x_2, x_3, ..., x_n, ...$, которая имеет предел, равный $a$. Тогда последовательности
$\{x_{2n}\} : x_2, x_4, x_6, ..., x_{2n}, ...$,
$\{x_{3n-1}\} : x_2, x_5, x_8,..., x_{3n-1}, ...$,
$\{x_{3n+1}\} : x_4, x_7, x_{10},..., x_{3n+1}, ...$,
$\{x_{n+1}\} : x_2, x_3, x_4,..., x_{n+1},...$,
так же имеют предел, равный $a$.

Из каких членов состоит последовательность $\{x_{n-1}\}$?

[dgwuqtj]

Так $\{x_{n - 1}\}$ не определена, а именно, её член при $n = 1$.

[Mikhail_K]

Ёж в сообщении #1613091 писал(а):

Из каких членов состоит последовательность $\{x_{n-1}\}$?

Начиная со второго члена - понятно из каких.

Чему равен её первый член, неважно, если мы хотим говорить только о пределе этой последовательности - потому что от изменения одного первого члена (равно как и любого конечного числа членов) предел последовательности не изменяется.

Мне здесь вспоминается широко используемая функция Хевисайда $\chi(x)$, которая равна единице при $x>0$ и нулю при $x<0$ (так она определяется). Чему равно $\chi(0)$, в определении обычно не говорится, потому что для всех применений функции Хевисайда это неважно.

-- 09.10.2023, 21:27 --

dgwuqtj в сообщении #1613097 писал(а):

Так $\{x_{n - 1}\}$ не определена, а именно, её член при $n = 1$.

Можно и так сказать, но если очень хочется сделать утверждение вида "если $\{x_n\}\to a$, то и $\{x_{n-1}\}\to a$" - то можно и сделать. Возможно, это утверждение требует уточнения, но в общем понятно, о чём оно, и оно справедливо.

[Ёж]

Mikhail_K в сообщении #1613099 писал(а):

dgwuqtj в сообщении #1613097 писал(а):

Так $\{x_{n - 1}\}$ не определена, а именно, её член при $n = 1$.

Можно и так сказать, но если очень хочется сделать утверждение вида "если $\{x_n\}\to a$, то и $\{x_{n-1}\}\to a$" - то можно и сделать. Возможно, это утверждение требует уточнения, но в общем понятно, о чём оно, и оно справедливо.

Данный вопрос как раз возник при установлении правильности утверждения:
если $\{x_n\}\to a$, то и $\{x_{n-1}\}\to a$.
Верно ли следующее доказательство?
Т.к. $\{x_n\}\to a \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \ \exists N : \forall n>N \Rightarrow\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon$, то
для данного $\varepsilon>0 \ \exists N_1=N-1 : \forall (n-1)>N_1 \Rightarrow\left|x_{n-1}-a\right|<\varepsilon$.
Следовательно, $\{x_{n-1}\}\to a$.

[Mikhail_K]

Ёж
Нет, неверно.
Во-первых, "$\forall(n-1)>N_1$" - не очень понятно, что означает. Под знаком квантора должна стоять переменная (например, $n$), а не выражение, такое как $n-1$.
Во-вторых, даже если Вы имели в виду здесь "$\forall n>N_1$" или "$\forall n>N_1+1$" - всё равно неверно. А чтобы это понять, напишите подробно, как Вы сделали последний логический переход "$\Rightarrow\left|x_{n-1}-a\right|<\varepsilon$".

P.S. Если это учебное задание, то здесь всё зависит от точки зрения преподавателя, который его задал. Вполне возможно, что предполагается именно данный выше ответ

dgwuqtj в сообщении #1613097 писал(а):

Так $\{x_{n - 1}\}$ не определена, а именно, её член при $n = 1$.

Я бы так не придирался: хотя утверждение не вполне внятное, но ему можно придать точный смысл и затем доказать его. Но у преподавателя может быть и другое мнение.

[Ёж]

Mikhail_K
Рассуждал следующим образом. Т.к.
$\{x_n\}\to a \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \ \exists N : \forall n>N \Rightarrow\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon$, то
$\forall n>N+1$ выполняется неравенство $\left|x_{n-1}-a\right|<\varepsilon$.

[Mikhail_K]

Ёж
Ну вот что-то подобное и надо было написать. Вы сами видите, что неравенство $\left|x_{n-1}-a\right|<\varepsilon$ выполняется при $n>N+1$. Так что именно номер $N+1$ надо брать в качестве $N_1$.

[Ёж]

Mikhail_K в сообщении #1613253 писал(а):

Ёж
Ну вот что-то подобное и надо было написать. Вы сами видите, что неравенство $\left|x_{n-1}-a\right|<\varepsilon$ выполняется при $n>N+1$. Так что именно номер $N+1$ надо брать в качестве $N_1$.

Спасибо большое!