Ряд (-1)^n расходится.Но можно ли его сумму ограничить?

[toreto]

Ряд $\displaysyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$ расходится, так как необходимый признак сходимости не выполняется. Но можно ли сказать, что $\left|\displaysyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\right|\leqslant 1$? Как будто бы интуитивно это можно обосновать расстановкой скобок разными способами, есть ощущение, что так оно и будет, но можно ли это как-то обосновать?

[realeugene]

Множество частичных сумм ряда, конечно, ограничено, но подобное обозначение, как у вас, наверное всё-таки нестандартное.

[toreto]

realeugene в сообщении #1612974 писал(а):

Множество частичных сумм ряда, конечно, ограничено, но подобное обозначение, как у вас, наверное всё-таки нестандартное.

Про частичные суммы понимаю, спасибо что ограниченны, но мне интересно - ограничена ли сумма ряда?

(Оффтоп)

Так будет красивее, наверное

toreto в сообщении #1612971 писал(а):

Ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$ расходится, так как необходимый признак сходимости не выполняется. Но можно ли сказать, что $\left|\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\right|\leqslant 1$? Как будто бы интуитивно это можно обосновать расстановкой скобок разными способами, есть ощущение, что так оно и будет, но можно ли это как-то обосновать?

[realeugene]

toreto в сообщении #1612988 писал(а):

Про частичные суммы понимаю, спасибо что ограниченны, но мне интересно - ограничена ли сумма ряда?

Выпишите определение термина "сумма бесконечного ряда", и ответ станет очевиден.

[Dmitriy40]

toreto
Бесконечная сумма может никак не соотносится с частичными суммами. Классический пример: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n = -\frac{1}{12}$, хотя все частичные суммы $>0$. Т.е. ограничение на Вашу сумму будут модельно зависимыми, какое определение бесконечной суммы возьмёте, так и можно (или нельзя) будет ограничить сумму ряда.

[toreto]

realeugene в сообщении #1612992 писал(а):

Выпишите определение термина "сумма бесконечного ряда", и ответ станет очевиден.

Сумма бесконечного ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ - это предел последовательности его частичных сумм. Если этот предел существует и конечен, то сумма ряда равна этому пределу. Формально, сумма ряда определяется как:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N \to \infty} \left( a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_N \right)$

А что должно стать очевидным?)

-- 08.10.2023, 21:33 --

Dmitriy40 в сообщении #1612995 писал(а):

Классический пример
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n = -\frac{1}{12}$, хотя все частичные суммы $>0$.

Спасибо большое!

Да, видел нечто подобное , например $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n=0,5$ (и в том числе "доказательства" этого)

То есть формальная условность, насколько я понимаю, просто расходящиеся ряды каким-то числом берут для каких-то целей в дальнейшем или как?

[Dmitriy40]

toreto в сообщении #1612997 писал(а):

А что должно стать очевидным?)

Слова "Если этот предел существует и конечен", которые для вашей суммы не выполнены.
Для расходящихся рядов общепринятого определения бесконечной суммы нет. Есть несколько разных (причём дающих разные результаты! видимо кому где какое понадобилось для чего-то, такое и брали, не обобщая), можете придумать и своё. Но пока его не выберете/приведёте, об такой сумме ничего сказать нельзя (конечно кроме того что ряд не сходится).
Насчёт использования ничего не скажу, не в курсе.

[realeugene]

toreto в сообщении #1612997 писал(а):

А что должно стать очевидным?)

Что если предел частичных сумм не существует, то и сумма бесконечного ряда не существует, и отношения несуществующего с числом формально не определены.

[toreto]

Спасибо. Понял, то есть такое неравенство нельзя считать верным $\left|\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\right|\leqslant 1$

[Dmitriy40]

Нет такой операции $\sum\limits_{n=1}^{\infty}$ для расходящегося ряда. Соответственно слева (под модулем) записана абракадабра, про значение которой сказать нельзя вообще ничего. Хотите что-то сказать/узнать про его значение - определите смысл операции бесконечной суммы расходящегося ряда и тогда уже с чем-то её сравнивайте.

[Red_Herring]

Есть различные естественные способы способы суммирования (не всех) знакопеременных расходящихся рядов (Чезаре разных порядков, Абеля). И все они дают сумму этого ряда $-\frac{1}{2}$. Поэтому, оговаривая что сумма понимается в смысле суммирования по Чезаре, можно сказать что это неравенство имеет место.