Верно ли доказываю, что множество выпукло?

[Verbery]

Всем привет! Может ли кто подсказать пойдёт ли такое решение

Доказать выпуклость множества: $C=\left\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n| dist(\mathbf{x}, S)\leq dist(\mathbf{x}, T)\right\},$ где $S,T\subseteq \mathbb{R}^n $ - некоторые множества, а $dist(\mathbf{x}, S)=\inf_{y\in S} \|x-y\|$ и норма евклидова.

Пытаюсь решать так:

Для того чтобы показать, что множество $C$ выпукло, рассмотрим две произвольные точки $ x_1, x_2 \in C $ и число $\lambda \in [0, 1]$. Обозначим $z = \lambda x_1 + (1-\lambda) x_2$. Тогда нам нужно доказать: $\text{dist}(z, S) \leq \text{dist}(z, T)$

Теперь заметим, что $dist(x_1, x_2) = 0$, когда оба элемента лежат в одном множестве. Пользуясь тем, что $z, x_1, x_2$ лежат в одном множестве и неравенством треугольника можем расписать неравенства:

$\text{dist}(z, S) \leq \text{dist}(z, x_2) + \text{dist}(x_2, S) = \text{dist}(x_2, S) \leq \text{dist}(x_1, x_2) + \text{dist}(x_2, S) = \text{dist}(x_2, S) \leq \text{dist}(x_1, T) \leq \text{dist}(x_1, z) + \text{dist}(z, T) = \text{dist}(z, T)$
что и требовалось

В первом же неравенстве, скорее всего, ошибка, так как не уверен, что неравенства треугольника тут можно применить. Но чувствуется будто напал на верный ход решения, но не могу довести до верного. Может ли кто помочь?

[dgwuqtj]

Утверждение, которое вы доказываете, неверно, если $S$ может быть невыпуклым.

Verbery в сообщении #1612743 писал(а):

Теперь заметим, что $dist(x_1, x_2) = 0$, когда оба элемента лежат в одном множестве.

Это вот вообще никак неверно. Расстояние равно нулю тогда и только тогда, когда точки совпадают.

[mihaild]

А что такое $dist(x, y)$? Вы это вводили для случая, когда второй аргумент - множество, а не точка.

Verbery в сообщении #1612743 писал(а):

Теперь заметим, что $dist(x_1, x_2) = 0$, когда оба элемента лежат в одном множестве

Это, соответственно, непонятно что значит.

Verbery в сообщении #1612743 писал(а):

Пользуясь тем, что $z, x_1, x_2$ лежат в одном множестве

В каком?

И утверждение действительно неверно. Рассмотрите, например, случай когда $S$ - это окружность, а $T$ - её центр.

[Verbery]

mihaild в сообщении #1612746 писал(а):

Вы это вводили для случая, когда второй аргумент - множество, а не точка.

Хорошо, написал не совсем корректно, но в определении данном выше вы же согласны, что $dist(x_1, C) = 0$?

mihaild в сообщении #1612746 писал(а):

В каком?

В множестве $C$

[mihaild]

Verbery в сообщении #1612748 писал(а):

Хорошо, написал не совсем корректно, но в определении данном выше вы же согласны, что $dist(x_1, C) = 0$?

С этим согласен. Но непонятно, зачем это.
И либо напишите выкладки без использования $dist$ между двумя точками, либо дайте ему определение.

[Евгений Машеров]

По-моему, без требования выпуклости S, T утверждение неверно.
В виде примера - на плоскости две "подковы" S, T так, что ножка одной между ножками другой.
А если принять выпуклость - то это должно работать в доказательстве.

[iifat]

Как-то мне сомнительно. Возьмём в качестве $S$ полуплоскость, проведём достаточно длинный параллельный её границе отрезок, обзовём его концы $x_1,x_2$. С другой стороны нарисуем достаточно маленький круг, который касается отрезка ровно посередине, и обзовём его $T$. Контрпример вроде, не?

[Verbery]

iifat в сообщении #1612842 писал(а):

Как-то мне сомнительно. Возьмём в качестве $S$ полуплоскость, проведём достаточно длинный параллельный её границе отрезок, обзовём его концы $x_1,x_2$. С другой стороны нарисуем достаточно маленький круг, который касается отрезка ровно посередине, и обзовём его $T$. Контрпример вроде, не?

Нет, ведь по условию точки $x_1$ и $x_2$ лежат в множестве $C$, а отрезок, который вы назвали, явно не принадлежит этому множеству

[mihaild]

Так это и показывает, что ваше $C$ невыпукло. Т.е. вы пытаетесь доказать неверное утверждение.

[Verbery]

Ок, думаю вы правы. Тогда решение можно расписать так: множество не является выпуклым, так как можно подобрать такие множества, что условие выпуклости будет нарушено. Спасибо всем

[Утундрий]

Verbery в сообщении #1612900 писал(а):

Тогда решение можно расписать так: множество не является выпуклым, так как можно подобрать такие множества, что условие выпуклости будет нарушено.

Это ложный вывод.

[Verbery]

Утундрий в сообщении #1612906 писал(а):

Это ложный вывод.

Почему?

[Утундрий]

Verbery
Потому что построенное множество может оказаться и выпуклым.

[Verbery]

Утундрий в сообщении #1612940 писал(а):

Потому что построенное множество может оказаться и выпуклым.

Если исходить из логики, что выпуклое множество должно быть выпуклым вне зависимости от внешних условий, то вывод верен

[Утундрий]

Ну, давайте в логику. То самое множество у вас не "вне зависимости" выпукло, а в случае, когда

Verbery в сообщении #1612900 писал(а):

можно подобрать

А можно подобрать, напротив, так, что будет не выпукло.