Ошибка в ЛЛ-1

[Poehavchij]

В параграфе 3 ЛЛ-1 о принципе относительности Галилея сказано следующее
"Оказывается, однако, что всегда можно найти такую систе­му отсчета, по отношению к которой пространство является од­нородным и изотропным, а время — однородным. Такая си­стема называется инерциальной"
Ну наверное корректно было добавить "пустое пространство", но суть не в этом. Из этого определения авторы хотят доказать что свободно движущаяся мат. точка будет двигаться с постоянной скоростью в инерциальной системе. Делают они это так:
Из однородности, изотропности и т.п. вид функции Лагранжа $L(v^2)$
Тогда уравнения Лагранжа

$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial v} = \frac{\partial L}{\partial r} = 0 $$

, откуда $\frac{\partial L}{\partial v} = const $
Далее логика весьма странная: "Но поскольку $\frac{\partial L}{\partial v}(v^2) $ является функцией только скорости, то отсюда следует, что и $v = const$"
Но это не есть доказательство, ведь если у меня какая-то $f(x) = 5 $ то это абсолютно не значит что $x = const$
При этом я предполагаю(если это не так то скажите), что все равно из этого определения ИСО и уравнений Лагранжа можно вывести факт постоянства скорости.
Вопрос, как ?) Заране спасибо

[Утундрий]

Встречный вопрос: Вам шашечки или ехать?

[Poehavchij]

Утундрий
Расшифруйте))

[Утундрий]

Это я к тому, что на ранних этапах изучения материала не следует слишком тщательно исследовать прочность конструкции. Едет - и ладно.

[Poehavchij]

Утундрий
Жаль не понимаю как тут картинки кидать, классный мем видел на тему ""Едет и ладно"))
На самом деле это звучит мудро и я согласен, так я делал при изучении общей физики. Но когда я вижу такие логические ляпы (ну если это действтельно ляп) то хотелось бы как то его подкорректировать. Думаю мне нужно направление как это сделать)
Предполагаю что из $ \frac{\partial L}{\partial v} = \frac{d L}{d v^2} 2v $ можно это как то получить, подставив в производную, но пока мало что придумал

[Geen]

Poehavchij в сообщении #1611871 писал(а):

если у меня какая-то $f(x) = 5 $ то это абсолютно не значит что $x = const$

А что это значит?

[Poehavchij]

Geen
Это значит что x может быть каким угодно
Мне же как я понимаю нужно доказать что v не зависит от t

[amon]

Poehavchij в сообщении #1611874 писал(а):

Расшифруйте))

Расшифровываю. Это рассуждение действительно дырявое, но на все дальнейшее не влияет, и его можно пропустить без вреда для всего.

[realeugene]

Poehavchij в сообщении #1611887 писал(а):

Это значит что x может быть каким угодно

... но не зависящим от $t$, если только $f$ зависит от $x$

[manul91]

Да, на самом деле дырявое. Возьмем примерно $L=\sqrt{v^2}=v$. Очевидно $\frac{\partial L}{\partial v} = 1$ и $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v} =0$ удовлетворено, тем не менее $v(t)$ может быть каким угодно и не должно быть константой.
Как исправить (в духе изложения, без дополнительных предположений) не понятно.

[lel0lel]

manul91

manul91 в сообщении #1611904 писал(а):

Возьмем примерно $L=\sqrt{v^2}=v$

Тогда, $L$ не будет дифференцируемой в нуле. В уравнение Лагранжа, вообще говоря, градиент функции Лагранжа $\partial{L}/\partial{\bf{v}}$

[zykov]

Poehavchij в сообщении #1611871 писал(а):

Далее логика весьма странная: "Но поскольку $\frac{\partial L}{\partial v}(v^2) $ является функцией только скорости, то отсюда следует, что и $v = const$"
Но это не есть доказательство, ведь если у меня какая-то $f(x) = 5 $ то это абсолютно не значит что $x = const$

Нормально там.
Не забывайте, что $v$ - это трёхмерный вектор.
И что имеет место изотропия.

[Poehavchij]

manul91 Да, вот именно такой контрпример я тоже придумал
Насчет того как исправить, то появилась такая мысль:
$ \frac{\partial L}{\partial v} = \frac{d L}{d v^2} \frac{d v^2}{d v} = \frac{d L}{d v^2}2v $
Далее мы знаем что $ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial v} = 0 $ Тоесть $ \frac{d}{dt} (\frac{d L}{d v^2}2v) = 0 $
$ \frac{d}{dt} (\frac{d L}{d v^2}v) = v \frac{d}{dt}(\frac{d L}{d v^2}) + \frac{d L}{d v^2} \frac{dv}{dt} = 0 $
Че дальше не понятно))

[Dedekind]

manul91 в сообщении #1611904 писал(а):

$\frac{\partial L}{\partial v} = 1$

У Вас $\frac{\partial L}{\partial v}$ не является функцией скорости.

[manul91]

lel0lel в сообщении #1611908 писал(а):

manul91

manul91 в сообщении #1611904 писал(а):

Возьмем примерно $L=\sqrt{v^2}=v$

Тогда, $L$ не будет дифференцируемой в нуле. В уравнение Лагранжа, вообще говоря, градиент функции Лагранжа $\partial{L}/\partial{\bf{v}}$

Имелось ввиду конечно, $L=\sqrt{\bf{v}^2}=|\bf{v}|$. Здесь $|\bf{v}|$ - модуль вектора скорости частицы (абсолютная величина).

lel0lel в сообщении #1611908 писал(а):

manul91 Тогда, $L$ не будет дифференцируемой в нуле.

Почему? Домен $L$ это значения аргумента $|\bf{v}| \geq 0$. Значит вокруг нуля, для производной имеет смысл предел только с положительной стороны.

lel0lel в сообщении #1611908 писал(а):

В уравнение Лагранжа, вообще говоря, градиент функции Лагранжа $\partial{L}/\partial{\bf{v}}$

Не понятно в чем смысл градиента по направлению скорости в данном случае, когда речь идет про единственной частице, а не про векторном поле каких-то скоростей..? Ведь $L$ - просто скаляр из модуля ee скорости. Но даже и так, если $\bf{v}$ не меняет направление (во времени и пространстве); а меняется с временем только по модулю, при $L=|\bf{v}|$, $\partial{L}/\partial{\bf{v}}$ будет константой тем не менее - и ее производная по времени соответно будет нулевая.

Dedekind в сообщении #1611917 писал(а):

У Вас $\frac{\partial L}{\partial v}$ не является функцией скорости.

Константная функция из аргумента - не является функцией аргумента?