Re: Свет, кривизна и некий характеристический класс

[Утундрий]

Обычно уравнения электромагнитного поля в искривлённом пространстве-времени получают из следующего вариационного принципа

$$\delta\int\sqrt{-g}\left( R+F^{\alpha \beta} F_{\alpha \beta}\right)d\Omega =0,\eqno (1)$$

где $R$ - скалярная кривизна, $F_{\mu \nu}\equiv\left(A_{\nu, \mu}-A_{\mu, \nu\right)}$ - тензор поля, $A^{\mu}$ - векторный потенциал, а интегрирование производится по всему пространству-времени.

Делается это так

Представив подынтегральное выражение в виде

$$\sqrt{-g}\left( R+F^{\alpha \beta} F_{\alpha \beta}\right)=\sqrt{-g} \; g^{\alpha \beta}R_{\alpha \beta}+\sqrt{-g}\;g^{\alpha \beta}g^{\gamma \delta}F_{\alpha \gamma}F_{\beta \delta} $$

и воспользовавшись соотношениями
$h_{\mu \nu} \equiv \delta g_{\mu \nu}\Rightarrow\delta g^{\mu \nu}=-h^{\mu \nu}\equiv -g^{\mu \alpha}g^{\nu \alpha}h_{\alpha \beta}$
$\delta \sqrt{-g}=\sqrt{-g}\left(\dfrac 1 2 g^{\mu \nu} \right) h_{\mu \nu}$
$\delta \left( \sqrt{-g} \; g^{\alpha \beta}\right)=\sqrt{-g}\left(\dfrac 1 2 g^{\mu \nu} g^{\alpha \beta}-g^{\mu \alpha } g^{\nu \beta}\right)h_{\mu \nu}$
$\delta \left( \sqrt{-g} \; g^{\alpha \beta} g^{\gamma \delta} \right)=\sqrt{-g}\left(\dfrac 1 2 g^{\mu \nu}g^{\alpha \beta}g^{\gamma \delta }-g^{\mu \alpha}g^{\nu \beta}g^{\gamma \delta}-g^{\alpha \beta}g^{\mu \gamma}g^{\nu \delta}\right)h_{\mu \nu}$
$\delta \left( A_{\alpha ; \beta}\right)=\left( \delta A_{\alpha}\right)_{; \beta}-\dfrac 1 2 \left(h_{\gamma \alpha ; \beta}+h_{\gamma \beta ;\alpha }-h_{\alpha \beta ; \gamma} \right)A^{\gamma}$
$\delta F_{\alpha \beta}=\left( \delta A_{\beta}\right)_{; \alpha}-\left( \delta A_{\alpha}\right)_{; \beta}$
$\delta R_{\mu \nu}=\dfrac 1 2 \left( h^{\alpha}_{\mu ;\nu \alpha}+h^{\alpha}_{\nu ;\mu \alpha}-h^{\alpha}_{\alpha ;\mu \nu}-{h_{\mu \nu ;\alpha}}^{;\alpha} \right)$
получим известную систему уравнений

$$\left\{ {\begin{array}{l} {F^{\mu \alpha}}_{;\alpha}=0\\ R^{\mu}_{\nu}-\dfrac 1 2 R \delta^{\mu}_{\nu}=-2 F^{\mu \alpha}F_{\nu \alpha}+\dfrac 1 2 F^{\alpha \beta}F_{\alpha \beta} \delta^{\mu}_{\nu} \\ \end{array} } \right. \eqno (2)$$

(ЗАМЕЧАНИЕ)

В процессе интегрирования по частям, "переброс" ковариантных производных производится точно так же как и обычных, поскольку и те и другие подчиняются правилу Лейбница. Этот подход отличается от классического и его преимущество заключается в следующем. Поскольку $g_{\mu \nu ;\alpha}\equiv0$, все свёртки с метрическим тензором можно производить, игнорируя ковариантное дифференцирование.

Освобождая таким способом вариации от ковариантных производных, замечаем, что все возникающие при $\sqrt{-g}$ ковариантные дивергенции могут быть отброшены.

Действительно, члены вида $\sqrt{-g} \;{w^{\alpha}}_{; \alpha}=\left( \sqrt{-g} \;w^{\alpha} \right)_{, \alpha}$ преобразуются в поверхностный интеграл и потому никак не влияют на уравнения $(2)$.

И тут я подумал...

Что, если рассмотреть наиболее общее выражение для лагранжиана теории и потребовать четырёх вещей?

• $A$-уравнения должны быть линейными второго порядка
• ...и в пределе слабого поля - безмассовыми
• $g$-уравнения должны быть не выше второго порядка
• ...и свободными от вторых производных $A$

Из части требований вытекает следующий общий вид лагранжиана

$$k_1 A^{\alpha ;\beta}A_{\alpha ;\beta}+k_2 A^{\alpha ;\beta}A_{\beta ;\alpha}+k_3 \left( A^{\alpha}_{;\alpha}\right)^2+k_4 R_{\alpha \beta}A^{\alpha}A^{\beta}$$

Варьируя который, применяя где нужно тождество ${A^{\alpha}}_{;\mu \nu}-{A^{\alpha}}_{;\nu \mu}=-{R^{\alpha}}_{\beta \mu \nu}A^{\beta}$ и элиминируя нежелательные элементы, доводим его до кондиции

$$k_1 \left[ A^{\alpha ;\beta}A_{\alpha ;\beta}-\left( A^{\alpha}_{;\alpha}\right)^2+R_{\alpha \beta}A^{\alpha}A^{\beta} \right]+k_2 \left[ A^{\alpha ;\beta}A_{\beta ;\alpha}-\left( A^{\alpha}_{;\alpha}\right)^2+R_{\alpha \beta}A^{\alpha}A^{\beta} \right]$$

уже всем четырём требованиям удовлетворяющей.

Казалось бы, обобщение! Но фиг там плавал.

Дело в том, что выражение при $k_2$ не даёт никакого вклада в $(2)$, так как имеет тождественно равные нулю вариционные производные.

Другими словами, величина

$$I\equiv\int\sqrt{-g}\left[ A^{\alpha ;\beta}A_{\beta ;\alpha}-\left( A^{\alpha}_{;\alpha}\right)^2+R_{\alpha \beta}A^{\alpha}A^{\beta} \right]d\Omega \eqno (3)$$

является т. н. "характеристическим классом".

Частные случаи

Для слабой электромагнитной волны (в пренебрежении создаваемой ею кривизной п.-в.) $I=0$.

Для метрики Рейснера - Нордстрёма $I\rightarrow \infty$.

Не знаю, есть ли в этом хоть какой-то физический смысл, но выглядит забавно. Надо будет взять что-то поразвесистей из точных решений и посмотреть на этот инвариант. Вдруг из условия его конечности вылезет какое-нибудь ограничение на параметры...

А ваше какое мнение?

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #1611199 писал(а):

применяя где нужно тождество ${A^{\alpha}}_{;\mu \nu}-{A^{\alpha}}_{;\nu \mu}=-{R^{\alpha}}_{\beta \mu \nu}A^{\beta}$

Я правильно понимаю, что замечательный член при $k_2$ с помощью этого тождества обращается в ноль после интегрирования по частям и отбрасывания дивергенций?

[Утундрий]

SergeyGubanov
Нет, обращаются в нуль его вариации по метрике и по полю $A$.

Тождество упомянул исключительно потому, что оно понадобится на этапе сокращения $A''$ в ТЭИ.

[espe]

Утундрий в сообщении #1611303 писал(а):

SergeyGubanov
Нет, обращаются в нуль его вариации по метрике и по полю $A$.

Тогда "характеристический класс"

Утундрий в сообщении #1611199 писал(а):

$$I\equiv\int\sqrt{-g}\left[ A^{\alpha ;\beta}A_{\beta ;\alpha}-\left( A^{\alpha}_{;\alpha}\right)^2+R_{\alpha \beta}A^{\alpha}A^{\beta} \right]d\Omega \eqno (3)$$

можно переписать как

$$2\int\sqrt{-g}\left[ R_{\alpha \beta}A^{\alpha}A^{\beta} \right]d\Omega \eqno (3')$$

и отсюда не видно почему его вариации по метрике и по полю $A$ равны нулю.

Что касается коэффициента перед $k_1$, то его можно переписать (с точностью до ) как $F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}+ R_{\alpha \beta}A^{\alpha}A^{\beta}$

В итоге по сути вы к исходному действию (1) прибавляете только $R_{\alpha \beta}A^{\alpha}A^{\beta}.$ Это слагаемое при ненулевой кривизне нарушает калибровочную инвариантность $\delta A_\mu=\nabla_\mu\varepsilon$ и, как следствие, степеней свободы у векторного поля будет больше двух (поляризаций), т.е. оно станет не совсем электромагнитным.

[Утундрий]

espe
Можете пояснить, как получается $(3')$?

[espe]

Я не знаю какие соглашения на счёт кривизны вы используете. С точностью до дивергенций имеем

$$A^{\alpha;\beta}A_{\beta;\alpha}-(A^\alpha_{;\alpha})^2=A^\alpha(A^\beta_{;\beta\alpha}-A^\beta_{;\alpha\beta}) =\pm A^{\alpha}R^\beta{}_{\gamma\beta\alpha}A^\gamma=\pm A^{\alpha}R_{\alpha\gamma}A^{\gamma}$$

Все $\pm$ друг от друга не зависят, а зависят от используемых определений. Поэтому Ваш $I$ либо ноль, как писал SergeyGubanov (тогда это "характеристический класс"), либо удваивается, как написал я (тогда вы где-то знак потеряли).

[Утундрий]

espe в сообщении #1611339 писал(а):

Я не знаю какие соглашения на счёт кривизны вы используете.

Знаете, я их привёл. И SergeyGubanov их процитировал.

$I$ действительно сводится к интегралу по гиперповерхености, тут я не дожал.

Только я не вижу повода "отбрасывать дивергенции" при вычислении значения $I$. По сути это просто-напросто отбрасывание самого $I$.

[Утундрий]

Что же, со случаем $A_{\alpha}$ всё, вроде бы, ясно. Занятно, насколько перечисленные выше требования "хорошести" ограничивают теорию. Попробую двинуться дальше и применить их к $B_{\alpha \beta}, \; C_{\alpha \beta \gamma}, \;D_{\alpha \beta \gamma \delta}, \; \ldots$