Сила всемирного тяготения (Кикоин)

[gefest_md]

Нашёл для себя возможность почитать учебник Кикоина, Физика 8 класс, 1982 год и наткнулся на первую сложность при изучении §Сила всемирного тяготения.

Цитата:

Если сила пропорциональна массе каждого из взаимодействующих тел, то это означает, что она пропорциональна произведению масс обоих тел.

Как из $F=k_1 M$ и $F=k_2 m$ следует, что $F=kMm?$
В учебнике понятно объясняется почему $F$ обратно пропорционально $r^2.$ Хотелось бы также хорошо понять зависимость от масс.

[sergey zhukov]

gefest_md
Никак не следует. $k_1$ и $k_2$ - это не константы.

[miflin]

Ситуация примерно такая, как с прямоугольником.
Его площадь пропорциональна и ширине, и высоте, и их произведению.

В $k_1$ сидит $m$, а в $k_2$ - $M$.

[gefest_md]

sergey zhukov, miflin, спасибо.

[Cos(x-pi/2)]

gefest_md

Величины $k_1$ и $k_2$ в указанных Вами равенствах $F=k_1 M$ и $F=k_2 m$ имеют смысл функций $k_1(m,r)$ и $k_2(M,r).$ При этом из приведённой Вами цитаты о пропорциональности следует, что $k_1(m,r)$ не зависит от $M,$ а $k_2(M,r)$ не зависит от $m.$ Из равенств $F=k_1 M$ и $F=k_2 m$ следует равенство $k_1(m.r) M = k_2(M,r) m$, а из него для, например, $k_2(M,r)$ имеем выражение:

$k_2(M,r)=\dfrac{k_1(m,r)}{m}M.$

Из этого выражения видно, что, поскольку $k_2(M,r)$ не должно зависеть от $m,$ то должно быть:

$k_1(m,r)=k(r)m.$

Следовательно, $k_2(M,r)=k(r)M.$

(С учётом этого искомое равенство $F=k(r)Mm$ теперь следует как из $F=k_1 M,$ так и из $F=k_2 m.$)

[gefest_md]

Cos(x-pi/2)
Для случая свободного падения, если $M$ увеличивается в два раза, то и $F$ увеличивается в два раза, потому что ускорение постоянно. Также и для $m.$ (Это из учебника). Зависимость присутствует (прямой пропорциональности от $M$ и $m$ соответственно). Общий вид этой зависимости выглядит так $F=k_1(m,r)\cdot M$ и $F=k_2(M,r)\cdot m.$ Далее выводим более точную зависимость $F=k(r)\cdot M\cdot m.$