Матричная запись умножения многочленов

[Evgeniy Vlasov]

Вроде очевидная тривиальная вещь. Почему оно нигде не встречается? Или просто я не нашел?

Пусть:

$ \begin{equation*} a(x) = a_{n} \cdot x^{n}+ a_{n-1} \cdot x^{n-1}+ \ldots + a_{0} \cdot x^{0}$, $b(x) = b_{k} \cdot x^{k}+ b_{k-1} \cdot x^{k-1}+ \ldots + b_{0} \cdot x^{0}$. \end{equation*} $

Тогда:
$ \item $ \begin{equation*} c(x)=a(x)\cdot b(x)= \left( \begin{array}{cccc} a_{0} & a_{1} & \ldots & a_{n}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} x^{k} & x^{k+1} & \ldots & {1}\\ x^{k+1} & x^{k} & \ldots & x\\ x^{k+2} & x^{k+1} & \ldots & x^2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x^{k+n} & x^{k+n-1} & \ldots & x^{n} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} b_{k}\\ b_{k-1}\\ \vdots\\ b_{0}\\ \end{array} \right). \end{equation*} $

Пример:

$ \item $ \begin{equation*} a(x)\cdot b(x)=(a_{2} \cdot x^{2}+ a_{1} \cdot x + a_{0}) \cdot (b_{3} \cdot x^{3} + b_{2} \cdot x^{2}+ b_{1} \cdot x + b_{0})=$ =$ \left( \begin{array}{cccc} a_{0} & a_{1} & a_{2}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} x^{3} & x^{2} & x & {1}\\ x^{4} & x^{3} & x^{2} & x\\ x^{5} & x^{4} & x^{3} & x^2\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} b_{3}\\ b_{2}\\ b_{1}\\ b_{0}\\ \end{array} \right). \end{equation*} $

Если кто знает, подскажите, пожалуйста, источник, в котором такая запись указывается.
Спасибо.

[пианист]

Может быть, в силу тривиальности?
Получается перестановкой скобок, если левый многочлен представить произведением строки коэффициентов на столбец степеней, а правый - строки степеней на столбец коэффициентов.
А не встречается, так как никому не было нужно; Вам, вот, понадобилось - можете зафиксировать приоритет ;)

[Evgeniy Vlasov]

пианист в сообщении #1608315 писал(а):

можете зафиксировать приоритет ;)

Спасибо, кончено... :)
И все же... Как по мне, так эта запись во сто раз нагляднее и в целом удобнее.
К тому же в известных формулах, приводимых для расчета коэффициентов результирующего многочлена $c(x)$ полагается, что оба умножаемых многочлена имеют одинаковые степени, однако, коэффициенты при высших степенях многочлена меньшей степени нулевые. При машинном методе вычислений будут лишние затраты, так как цикл все равно нужно "прокрутить" вне зависимости от того, нулевое значение коэффициента или нет.
Помимо этого, в матричном виде любой коэффициент буквально "сходу" и "в лоб" может быть рассчитан: заранее известно количество слагаемых при конкретной степени неопределенной переменной, коэффициент $c_i$ каждого члена суммы для конкретной степени $i$ неопределенной переменной определяется из номеров столбца и строки расположения степени $i$ неопределенной переменной в матрице, $i=0,1,2, \ldot n+k$.
Например, третьих степеней $x$ в примере три. Их индексы в матрице: 1 1, 2 2 и 3 3. Соответствуют индексам 0 и 3, 1 и 2, 2 и 1 коэффициентов многочленов $a(x)$ и $b(x)$ соответственно. Итого $c_3 = a_0 \cdot b_3 + a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1$
Между номером индекса в матрице и индексом коэффициентов $a(x)$ и $b(x)$ есть однозначная простейшая связь.

[vpb]

Соотношение, конечно, забавное. Но я не вижу в нем большой пользы. Может быть, в каком-то весьма специальном вопросе оно может сыграть роль, допускаю такое. Но общего значения, такого, как какая-нибудь схема Горнера (для примеру), оно не имеет. В общем, не того порядка факт, чтоб его заносить в учебники или хотя бы в монографии или справочники.

Если бы вы решали какой-то важный вопрос, и в ходе решения этого вопроса данное соотношение в какой-то момент сыграло критическую роль, тогда бы люди могли оценить это как "да, N.N. сделал остроумное наблюдение". А так оно выглядит, как в воздухе подвешенное.

[Evgeniy Vlasov]

vpb в сообщении #1608368 писал(а):

В общем, не того порядка факт, чтоб его заносить в учебники или хотя бы в монографии или справочники.

А почему бы и нет? Хотя бы по той причине, что это один из возможных способов представления произведения многочленов. Наглядный, простой и хорошо запоминающийся.
Да и вывод вполне очевиден. С учётом этого даже места на бумаге займёт меньше, чем запись коэффициентов результирующего многочлена по формулам.