Найти последнюю цифру числа, остаток при делении на др число

[Ivan 09]

Доброго времени суток.
$a=2^{1425}$ ; $b=63$

1. найти последнюю цифру числа $a$
Мои рассуждения: через каждые четыре числа последняя цифра степени двойки повторяется. Например $2$ , $ 4$ ,$8$, $16$, $32$ , $ 64$ ,$128$ ,$256$
Достаточно посмотреть, что $1425= 4\cdot 356+1$. Отсюда сразу следует, что последняя цифра числа $a$ - это $2$?

2. Найти остаток при делении $a$ на $b$
Мои попытки: $63=64-1$

$2^{1425}=2^{6\cdot 237+3}$

или можно переписать в виде $(2^{6\cdot 231+6})\cdot8$
Осюда надо найти остаток при делении $2^6\cdot8$ на $63$ и ответ $8$?
Можете ли сказать, правильны ли ответы и решение обосновано ли?

только заметил, что $231$ при делении на $63$ даст остаток и к нему надо прибавить как раз $8$?

[zykov]

(1) - правильно.
Только более формально - расписать умножение на 2 по модулю 10. Идёт зацикливание с периодом 4.
(2) - не очень понял, но там можно было бы аналогично 10 сделать, но можно даже проще: $2^6=64$, что будет $1$ по модулю 63.
Т.е. $2^{6k}$ равно $1$ по модулю 63.
$1425$ равно $3$ по модулю $6$, значит ответ $2^3=8$.